График производной. Готовимся к ЕГЭ

1.

2.

На рисунке изображен график производной функции у =f (x),
заданной на промежутке (- 8; 8). Исследуем свойства графика и
мы можем ответить на множество вопросов о свойствах функции,
хотя графика самой функции не представлено!
Найдем точки, в
которых f /(x)=0 (это
нули функции).
y
+
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
–
f/(x)
f(x)
-5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
0
y = f /(x)
+
+
–
1 2 3 4 5 6 7
3
6
x
x

3.

По этой схеме мы можем дать ответы на многие вопросы
тестов.
Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество
ее точек минимума.
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
-5
f/(x)-8 +
-5
f(x)
–
y = f /(x)
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
x
4 точки экстремума,
0
–
+
3
+ 8
6
Ответ:
2 точки минимума
x

4.

Пример
Найдите точку экстремума функции у =f (x) на отрезке [– 6; –1]
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
f/(x) -8 +
-5
f(x)
–
y = f /(x)
1 2 3 4 5 6 7
Ответ: xmax = – 5
+ 8
–
+
0
x
3
6
x

5.

Пример
Найдите количество точек экстремума функции у =f (x)
на отрезке [– 3; 7]
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
f/(x) -8 +
-5
f(x)
–
y = f /(x)
1 2 3 4 5 6 7
Ответ: 3.
+ 8
–
+
0
x
3
6
x

6.

Пример
Найдите промежутки возрастания функции у =f (x).
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
f/(x)-8 +
-5
f(x)
–
y = f /(x)
1 2 3 4 ( 5 6 7
Ответ:
(–8; –5], [ 0; 3], [ 6; 8)
+ 8
–
+
0
В точках –5, 0, 3 и 6
функция непрерывна,
поэтому при записи
промежутков
возрастания эти точки
x включаем.
3
6
x

7.

Пример
Найдите промежутки возрастания функции у =f (x). В ответе
укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
y = f /(x)
1 2 3 4 ( 5 6 7
В точках –5, 0, 3 и 6
функция непрерывна,
поэтому при записи
промежутков
возрастания эти точки
x включаем.
(–8; –5], [ 0; 3], [ 6; 8)
Сложим целые числа:
-7, -6, -5, 0, 1, 2, 3, 6, 7
Ответ: 1
f/(x)-8 +
-5
f(x)
–
0
+ 8
–
+
3
6
x

8.

Пример
Найдите промежутки убывания функции у =f (x). В ответе укажите
длину наибольшего из них.
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
f/(x)-8 +
-5
f(x)
–
y = f /(x)
1 2 3 4 5 6 7
Ответ: 5.
+ 8
–
+
0
x
3
6
x

9.

Пример
В какой точке отрезка [– 4; –1] функции у =f (x) принимает
наибольшее значение?
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
f/(x)-8 +
-5
f(x)
–
y = f /(x)
1 2 3 4 5 6 7
Ответ: – 4.
+ 8
–
+
0
На отрезке [– 4; –1]
функция у =f (x)
убывает, значит,
наибольшее значение
на данном отрезке
x функция будет
принимать в точке – 4.
3
6
x

10.

Пример
В какой точке отрезка [– 4; –1] функции у =f (x) принимает
наименьшее значение?
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
f/(x)-8 +
-5
f(x)
–
y = f /(x)
1 2 3 4 5 6 7
Ответ: – 1.
+ 8
–
+
0
На отрезке [– 4; –1]
функция у =f (x)
убывает, значит,
наименьшее значение
на данном отрезке
x функция будет
принимать в конце
отрезка точке х= – 1.
3
6
x

11.

Пример
В какой точке отрезка [ 0; 3] функции у =f (x) принимает
наибольшее значение?
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
f/(x)-8 +
-5
f(x)
–
y = f /(x)
1 2 3 4 5 6 7
Ответ: 3.
+ 8
–
+
0
На отрезке [ 0; 3]
функция у =f (x)
возрастает, значит,
наибольшее значение
на данном отрезке
x функция будет
принимать в конце
отрезка точке х=3.
3
6
x

12.

Пример
В какой точке отрезка [ 1; 4] функции у =f (x) принимает
наибольшее значение?
Наибольшее значение
на отрезке [ 1; 4]
функция у =f (x) будет
принимать в точке
максимума х=3.
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
f/(x)-8 +
-5
f(x)
–
y = f /(x)
1 2 3 4 5 6 7
Ответ: 3.
+
0
x
–
3
+ 8
6
x

13.

Функция у = f(x) определена на промежутке (- 4; 3).
На рисунке изображен график ее производной. Найдите
точку
, в которой функция у = f(x) принимает
наибольшее значение.
a
1
2
2 -2
3 -4
4
1
Не верно!
Не верно!
y = f /(x)
хmax = 1
В этой точке
функция
у =f(x) примет
наибольшее
значение.
Не верно!
-4 -3 -2 -1
1
2
3
Верно!
Проверка (2)
f/(x)
f(x) -4
+
–
1
3
4
5 х

14.

Функция у = f(x) определена на интервале (- 5; 4).
На рисунке изображен график ее производной. Найдите
точку
, в которой функция у = f(x) принимает
наименьшее значение.
y
хmin = 2
a
Верно!
1 2
Не верно!
2
0
В этой точке
функция
у =f(x) примет
наименьшее
значение.
y = f /(x)
Не верно!
3 -5
4 -3
1
-4 -3 -2 -1
2
3
4
Не верно!
Проверка (2)
f/(x)
f(x) -5
–
+
2
4
5 х

15.

На рисунке изображен график производной функции
у =f /(x), заданной на промежутке (- 6; 8). Исследуйте
функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее
точек максимума.
y
4
3
2
1
Не верно!
1
2
7
3
Верно!
Не верно!
3 8
Не верно!
4 4
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
-5
y = f /(x)
x
1 2 3 4 5 6 7
– +
+
–
f/(x) –
+
–
3
4
-5
-4 -2 1
f(x)
Проверка (2)
+
7

16.

На рисунке изображен график производной функции
у =f /(x), заданной на промежутке (- 5; 5). Исследуйте
функцию у =f (x) на монотонность и укажите число ее
промежутков убывания.
y
/(x)
y
=
f
4
Не верно!
3
1 3
2
2
3 1
2
1
Не верно!
Верно!
Не верно!
4 4
Проверка (2)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
-5
f/(x)
f(x)
x
1 2 3 4 5 6 7
–
+
1
+
4

17.

На рисунке изображен график производной функции
у =f /(x), заданной на промежутке (- 6; 8). Исследуйте
функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее
точек экстремума.
y
y = f /(x)
4
Не верно!
1
2
3
2
1
5
2
Верно!
Не верно!
3 1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
-5
x
1 2 3 4 5 6 7
Не верно!
4 4
Проверка (2)
f/(x)
f(x)
+
– +
-5
-2

18.

В. На рисунке изображен график производной функции у =f /(x),
заданной на промежутке [-5;5]. Исследуйте функцию у =f (x) на
монотонность и укажите наибольшую точку максимума .
Из двух точек
максимума
наибольшая хmax = 3
Не верно!
1
y = f /(x)
5
+
Верно!
2
3
-
-4 -3 -2 -1-
-
+
+2
1
3
-
4
Не верно!
3 2
Не верно!f/(x)
4 4
f(x)
-4
-2
-
+
0
-
3
+
4
+
5
х

19.

На рисунке изображен график производной функции
у =f /(x), заданной на промежутке (- 6; 7). Исследуйте
функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее
точек экстремума.
y
y = f /(x)
4
Не верно!
1
2
3
2
1
8
4
Верно!
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
-5
Не верно!
3 2
Не верно!
4 1
f/(x)
f(x)
Проверка (2)
+
x
1 2 3 4 5 6 7
– + – +
1
3
5
6

20.

Функция у = f(x) определена на промежутке на
промежутке (- 6; 3). На рисунке изображен график ее
производной. Найдите длину промежутка убывания этой
функции.
y
Верно!
1
8
Не верно!
2
4
3
2
1
6
Не верно!
3
4
4
9
Не верно!
Проверка (2)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
y = f /(x)
-1 1 2 3 4 5 6 7
-2
-3
-4
-5
–
+3
f/(x) IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
2
f(x) -6
x