Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений

1.

РАЗДЕЛ I
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ)
ЛЕКЦИЯ 1
МАТРИЦЫ

2.

Матрица и её виды
Матрицей называется прямоугольная таблица,
состоящая из m строк и n столбцов, содержащая
m ∙ n элементов. элемент матрицы
номер строки
a
a
... a1n
12
Прописная
11
элемент матрицы
номер столбца
латинская
a2 n или A (a ),
a
...
a
буква
22
21
Am
n ... ряды
ij
матрицы
для
...
...
...
Строчная латинская
обозначения размерность матрицы
am1 am 2 ... amn буква для обозначения
матрицы
элемента
индекс i = 1, …, m означает номер строки,
индекс j = 1, …, n – номер столбца,
в которых находится элемент матрицы.
Матрицы обозначаются прописными буквами
латинского алфавита A, B, C, …,
а элементы – строчными aij, bij , cij , …

3.

Пример. Числовая матрица размерности 3 4
имеет вид:
0 1 2
5
A3 4 9 7
0 1 .
3
4
2
6
Что означает число 4 в размерности матрицы?
Что означает число 3 в размерности матрицы?
Какие индексы имеет элемент -7?

4.

Квадратной называется матрица, у которой
число строк равно числу столбцов.
Порядком квадратной матрицы называется число
её строк или столбцов.
Пример. Квадратные матрицы первых трёх
порядков имеют следующий вид:
Главная диагональ
(a11 ),
Главная диагональ
a11 a12
,
a21 a22
a11 a12
a21 a22
a a
31 32
Побочная диагональ
Побочная диагональ
a13
a23 .
a33

5.

Пример. Постройте матрицу порядка n:
A
a11 a12
a 21 a22
... ...
a n 1 an 2
...
...
...
...
a1n
a2 n
...
ann
Выделите элементы главной диагонали матрицы.
Выпишите элементы побочной диагонали матрицы.
a1 n , a2 n 1 , a3 n 2 , ...,
an 1.

6.

Единичной называется квадратная матрица E,
элементы главной диагонали которой равны
единице, а остальные - нулю.
Пример. Постройте E2.
1 0
.
E
0 1
Треугольной называется квадратная матрица,
все элементы которой, лежащие ниже или выше
главной диагонали, равны нулю.
Пример. Треугольная матрица четвертого
0
0
0
порядка имеет вид:
1
0
0
4 2
B
.
11
3
3
0
7
5
2
1

7.

Нулевой называется матрица O, все элементы
которой равны нулю.
0 0
Пример. Постройте матрицу O3 2 :
Сформулируйте определение
равных матриц
O 0 0 .
0 0
Равными называются матрицы одинаковой
размерности, у которых равны элементы,
стоящие на соответствующих местах.
Матрицей-столбцом (матрицей-строкой)
называется матрица, содержащая один столбец
(одну строку).
2
Пример. Укажите вид и размерность матриц
D (2 1 1),
3
C
.
3
0

8.

Транспонированной к матрице A называется
матрица AT, полученная из A заменой каждой её
строки столбцом с тем же номером.
Пример. Транспонированной к матрице
1 2 0
A
2 3 1
является матрица
1 2
T
A 2 3 .
0 1

9.

Действия над матрицами
Суммой матриц A и B одинаковой размерности
m n называется матрица C размерности m n ,
каждый элемент которой равен ci j ai j bi j ,
i 1, ..., m, j 1, ..., n.
Пример. Найти сумму матриц
1 4
0 4
:
B
A
и
1
2
2 3
1 0
.
C A B
0 4
Вычитание матриц одинаковой размерности
сводится к вычитанию их соответствующих
элементов.
Пример. Найти разность матриц
а) A 1 0 1 , B 1 1 ; б) С 0 2 4 , D 0 2 4 .

10.

Произведением матрицы A и числа λ называется
матрица B, каждый элемент которой равен
bi j λai j ,
i 1, ..., m,
j 1, ..., n.
1 4
Пример. Умножить матрицу A
на число λ=2:
2 3
1 4 2 8
B λA 2
.
2 3 4 6
Противоположной матрице
матрица (-1)A = -А.
А
называется

11.

Свойства операций сложения матриц и
умножения матрицы на число
1. A B B A - коммутативность сложения матриц
- ассоциативность
2. A ( B C ) ( A B) C сложения матриц
наличие нейтрального
3. A O A - по
сложению матриц
элемента
наличие противоположного
4. A ( A) O - элемента
по сложению матриц
наличие нейтрального элемента
5.1 A A - по
умножению матрицы на число
ассоциативность
6.λ(μA) (λμ) A -умножения
матрицы на число
дистрибутивность
7.λ( A B) λA λB -умножения
матрицы на число
относительно сложения матриц
8.(λ μ) A λA μA - дистрибутивность
умножения матрицы на число
относительно сложения чисел

12.

Произведением матрицы Am n и матрицы Bn p
является матрица Cm p с элементами
ci k ai1 b1k ai 2 b2 k ... ain bnk ,
i 1, ..., m,
k 1, ..., p.
Можно ли перемножить две матрицы произвольных
размерностей?
Какому ограничению должны удовлетворять
перемножаемые матрицы?
Для перемножения двух матриц нужно,
чтобы число столбцов первой (левой) матрицы
совпадало с числом строк второй (правой)
матрицы (согласованные матрицы).
Иначе перемножить матрицы нельзя.

13.

Пример. Найти АВ и ВА, если
a11 a12
а)
b11 b12 b13
A3 2 a21 a22 ,
B2 4
b21 b22 b23
a31
a32
b14
.
b24
Существует ли произведение АВ? Существует
Какова размерность АВ? 3 4
Существует ли произведение ВА? Не существует
Решение.
a11 a12
b11 b12 b13 b14
а) ( AB )3 4 a21 a22
a a b21 b22 b23 b24
31 32
a11b11 a12b21 a11b12 a12b22 a11b13 a12b23 a11b14 a12b24
= a21b11 a22b21 a21b12 a22b22 a21b13 a22b23 a21b14 a22b24
a31b11 a32b21 a31b12 a32b22 a31b13 a32b23 a31b14 a32b24

14.

б)
1 1 0
,
A2 3
2 1 3
1 0 2 1
B3 4 2 1 1 3 .
0 1 0 1
Существует ли АВ?
Какова размерность АВ?
Существует ли произведение ВА?
1 0 2 1
1 1 0
2 1 1 3
( AB )
2 4
1 3
2
0
1
0
1
=
1 1 ( 1) 2 0 0 1 0 ( 1) 1 0 1 1 2 ( 1) 1 0 0 1 1 ( 1) 3 0 1
2 1 1 2 3 0
2 0 1 1 3 1 2 2 1 1 3 0 2 1 1 3 3 1
1 2
1 1
.
4
0 4 3
=

15.

Особенности умножения матриц
1.Из существования АВ не следует существование ВА
и наоборот.
2.Из существования АВ и ВА не следует их равенство.
3.Только квадратную матрицу можно умножить саму
2
на себя: AA A (в результате может получиться
нулевая матрица).

16.

Свойства умножения матриц
1. A( BC) ( AB)C - ассоциативность
умножения матриц
2. A( B C ) AB AC - дистрибутивность
умножения матриц относительно
сложения матриц (правая)
3.( A B)C AC BC - дистрибутивность
умножения матриц относительно
сложения матриц (левая)
4. AE EA A - наличие нейтрального
элемента по умножению матриц
5. AO OA Ο
- наличие противоположного
элемента по умножению матриц

17.

Элементарные преобразования матриц
1. Перемена местами двух параллельных рядов.
2.
Умножение
ряда на
ненулевое число.
3. Прибавление к элементам ряда
соответствующих элементов параллельного ряда,
умноженных на одно и то же число.
Эквивалентными называются матрицы,
полученные одна из другой с помощью
элементарных преобразований: А~В.
Применяя элементарные преобразования,
матрицу можно привести к трапециевидной
(ступенчатой) форме:

18.

a11 a12
0 a22
0 0
A ... ...
0 0
... ...
0 0
a1r ... a1n
a2 r ... a2 n
a3 r ... a3 n
... ... ... ,
arr ... arn
... ... ...
0 ... 0
где aii 0, i 1, ..., r , aik 0 при i r.
a13
a23
a33
...
0
...
0
...
...
...
...
...
...
...

19.

Пример. Привести к трапециевидной форме
матрицу
0
2
A
2
2
1
1
2
0
2 3
2 1
.
4 2
0 4