Матрицы. Определители. Решение систем линейных уравнений методом Крамера

1.

Матрицы.Определители. Решение
систем линейных уравнений
методом Крамера.

2.

План лекции:
1. Основные понятия и определения
( матрица, матрица строка, матрица столбец,
квадратная матрица, диагональная матрица,
единичная матрица)
2. Операции над матрицами.
3. Определители. Вычисление определителей второго
и третьего порядка.
4. Свойства определителей.
5. Решение систем линейных алгебраических
уравнений методом Крамера.

3.

Матрицы и определители
Тема 1. Матрицы и определители.
п.1.1.Основные понятия и определения
Определение: Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица
чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу,
называются элементами матрицы.
Матрица размера m n:
a11
a21
...
A
m n
ai1
...
a
m1
a12
a22
...
ai 2
...
am 2
...
...
...
...
...
...
a1 j
a2 j
...
aij
...
am j
...
...
...
...
...
...
a1n
a2 n
...
.
ain
...
am n
Матрицы обозначаются прописными заглавными буквами латинского
алфавита А,В,С,…, а для обозначения элементов матрицы используют
строчные буквы с двойной индексацией: aij , где i – номер строки, j - номер
столбца.

4.

Матрицы и определители
Пример:
С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические
зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по отдельным
отраслям экономики (усл.ед.):
Ресурсы
Отрасли экономики
Промышленность
Сельское хозяйство
Электроэнергия
5,3
4,1
Трудовые ресурсы
2,8
2,1
Водные ресурсы
4,8
5,1
Может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения
ресурсов по отраслям:
А=
5,3
2,8
4,8
4,1
2,1
5,1
В данной записи, например, матричный элемент a11=5,3 показывает, сколько
электроэнергии употребляет промышленность, а элемент a22=2,1 – сколько
трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.

5.

Матрицы и определители
Виды матриц.
Определение: Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей
(вектором)-строкой, а из одного столбца – матрицей (вектором)столбцом.
Пример:
А 2
5
1 ;
6
11
B .
0
3
Определение: Матрица называется квадратной n-го порядка, если число ее
строк равно числу столбцов и равно n.
Пример:
3
A 5
1
2
8
0
1
7 - квадратная матрица третьего порядка.
1
Определение: Элементы матрицы aij, у которых номер столбца равен номеру
строки (i=j), называются диагональными и образуют главную диагональ
матрицы.

6.

Матрицы и определители
Определение: Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны
нулю, то матрица называется диагональной.
Пример:
6
А 0
0
0
2
0
0
0 - диагональная матрица третьего порядка.
1
Определение: Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные
элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n-го
порядка, она обозначается буквой E.
Пример:
1
E
0
0
- единичная матрица второго порядка;
1
1
E 0
0
0
1
0
0
0 - единичная матрица третьего порядка.
1
Определение: Матрица любого размера называется нулевой, если все
элементы равны нулю.

7.

Матрицы и определители
п. 1.2.Операции над матрицами
1.Умножение матрицы на число
Каждый элемент матрицы умножается на это число.
Пример:
8
А
3
2
4
, 0,5 А
1,5
6
1
.
3
2.Сложение матриц
!!! Можно складывать матрицы только одинаковых размеров.
Матрицы складываются поэлементно.
Пример:
2
А 0
1
3
8 ,
6
1
В 8
1
2
5 ,
7
3
С А В 8
0
5
3 .
13
3.Вычитание матриц
!!! Можно вычитать матрицы только одинаковых размеров.
Матрицы вычитаются поэлементно.
Пример:
2
А 0
1
3
8 ,
6
1
В 8
1
2
5 ,
7
1
С А В 8
2
1
13 .
1

8.

Матрицы и определители
4.Умножение матриц
!!! Матрицу А можно умножить на матрицу В, если число столбцов матрицы
А равно числу строк матрицы В.
Произведением матрицы A B называется такая матрица C , каждый
m k k n
m n
элемент которой cij равен сумме произведений элементов i-ой строки
матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.
!!! Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для
операций над матрицами (что следует из определений этих операций):
А+В=В+А
(А+В)+С= А+(В+С)
λ(А+В)=λА+λВ
А(В+С)=АВ+АС
(А+В)С=АС+ВС
λ(АВ)=(λА)В=А(λВ)
А(ВС)=(АВ)С

9.

Матрицы и определители
!!! Однако имеются и специфические свойства матриц. Так, операция умножения матриц
имеет некоторые отличия от умножения чисел:
Если произведение матриц АВ существует, то после перестановки
сомножителей местами произведение матриц ВА может и не
существовать.
Коммутативный закон умножения, вообще говоря, не выполняется, т.е.
АВ≠ВА.
Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой
матрице.

10.

Матрицы и определители

11.

Матрицы и определители
5.Возведение в степень
Целой положительной степенью Аm (m>1) квадратной матрицы А называется
произведение m матриц равных А, т.е.
Аm
A
A
...
A.
m
раз
!!! По определению полагают А0=Е, А1=А.
Пример:
1 3
, найти А2.
А
2 1
1 3 1 3 7 0
.
А2
2
1
2
1
0
7

12.

Матрицы и определители
6.Транспонирование матрицы
Транспонированная матрица – матрица, в которой строки и столбцы
поменялись местами с сохранением порядка. Обозначается А .
Пример:
2
А
1
3 9
,
0 5
2 1
А 3 0 .
9 5
Свойства операции транспонирования:
(А’)’=A
(λA)’=λA’
(A+B)’=A’+B’
(AB)’=B’A’.

13.

Матрицы и определители
Пример:

14.

Матрицы и определители

15.

Матрицы и определители
п.1.3.Определители. Основные понятия и определения
Определение. Пусть дана квадратная матрица первого порядка
A а11 .
определителем (или детерминантом) первого порядка, соответствующим
данной матрице, называется элемент а11.
Определение. Пусть дана квадратная матрица второго порядка
a
A 11
a 21
a12
.
a 22
определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим
данной матрице, называется число, получаемое по правилу:
det A
a11
a21
a12
a11 a22 a12 a21 .
a22

16.

Матрицы и определители
Определение. Пусть дана квадратная матрица третьего порядка
a11
A a21
a
31
a12
a22
a32
a13
a23 .
a33
определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим
данной матрице, называют число, получаемое по правилу:
a11
a 21
a31
a12
a 22
a32
a13
a 23 a11 a22 a33 a12 a31 a23 a13 a21 a32
a33
a11 a32 a 23 a12 a 21 a33 a13 a31 a 22 .
!!! Для того, чтобы запомнить, какие произведения в правой части
соотношения следует брать со знаком “+”, какие – со знаком “–”, полезно
следующее графическое правило, называемое правилом треугольников:
– со знаком “+”;
– со знаком “–”.

17.

• Рассмотрим таблицу
a11
a
21
a12
a 22

18.

Числа
a11 , a12 , a21 , a22– это
элементы таблицы.
aij
i номер строки;
j номер столбца

19.

a11
a
21
побочная
a12
a 22
главная

20.

• Число строк – порядок таблицы.
• Главная диагональ – диагональ идущая
с левого верхнего угла в правый
нижний.
• Побочная диагональ – диагональ
идущая с верхнего правого угла в
левый нижний.

21.

• Выражение
a11
a21
a12
a11 a22 a21 a12
a22
называется определителем 2-го
порядка .

22.

Метод вычисления
определителя третьего порядка

23.

Правило
треугольника

24.

Три произведения элементов, стоящих на
главной диагонали и в вершинах двух
треугольников:
берутся со знаком " ", а три произведения
элементов, стоящих на побочной диагонали и
в вершинах двух других треугольников:
берутся со знаком " ".

25.

• Выражение вида
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
называется определителем третьего
порядка

26.

Матрицы и определители

27.

Матрицы и определители
п.1.4.Свойства определителей
1.Величина определителя не
соответствующими столбцами, т.е.
меняется
при
замене
его
строк
det A = det AT .
2.При перестановке двух строк (столбцов) определителя между собой
определитель меняет лишь знак:
a b
c d
.
c d
a b
3.Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен
нулю.
2 1 2
2 1 2 0.
3 0 4

28.

Матрицы и определители
4.Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя
содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя:
ka kb
a b
k
.
c
d
c d
Следствие. Если все элементы какой-либо
определителя равны нулю, то определитель равен нулю.
строки
(столбца)
5.Если элементы некоторой строки (столбца) определителя есть суммы
двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в которых
элементы упомянутой строки (столбца) заменены отдельными слагаемыми:
a p b
a b
p b
.
c l d
c d
l d
6.Величина определителя не изменится, если к элементам любого
его ряда прибавить элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то
же число:
a b
a k b b
.
c d
c k d d

29.

Матрицы и определители
!!! Прежде чем сформулировать свойство 7 введем понятия минора и
алгебраического дополнения.
Определение. Минором Mij некоторого элемента aij определителя
называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -ой
строки и j - ого столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.
Определение.
Алгебраическим
дополнением
элемента
aij
i+j
определителя называется минор Mij, взятый со знаком (-1) . Оно
обозначается
Aij = (-1)i+ jMij.
Рассмотрим пример.
det А
1
0
2
0
1
1
2
3
2
0
1
1
M11 =
1
2
3
0
1
1
1
2
0
3
1
, M23 =
2
0
1,
1
2
0
M33 =
1
2
3
1
0
0
3
2
0
1
1
3
12
3
1
0
3
A23 = (-1)2+ 3M23 = 12; A11 = (-1)1+ 1M11 = -1; A33 = (-1)3+ 3M33 = 3.

30.

Решение СЛАУ методом
Крамера

31.

Габриэль Крамер
(31 июля 1704, Женева, Швейцария—4 января 1752, Баньоль-сюр-Сез, Франция)
Габриэль Крамер родился 31 июля 1704 года в
Женеве (Швейцария), в семье врача. Уже в
детстве он опережал своих сверстников в
интеллектуальном развитии и демонстрировал
завидные способности в области математики.
Талантливый учёный написал множество статей
на самые разные темы: геометрия, история,
математика, философия. В 1730 году он
опубликовал труд по небесной механике.
Крамер является одним из создателей линейной
алгебры. Одной из самых известных его работ
является «Введение в анализ алгебраических
кривых», опубликованный на французском языке
в 1750 году. В ней Крамер строит систему
линейных уравнений и решает её с помощью
алгоритма, названного позже его именем – метод
Крамера.

32.

Метод Крамера применяется для решения СЛАУ, в которых
число неизвестных переменных равно числу уравнений
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:
Определитель третьего порядка,
соответствующий основной
матрице системы, т.е.
составленный из коэффициентов
при неизвестных,
называется определителем
системы.

33.

Метод Крамера
Составим ещё три определителя следующим образом: заменим
в определителе последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом
свободных членов.

34.

Формулы Крамера
Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая
система имеет одно и только одно решение, причём

35.

Пример
Решить СЛАУ:
Ответ: х=1, у=2, z=3

36.

Пример
Решить СЛАУ:
Ответ: х=1, у=2, z=3

37.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!