Матрицы. Определители. Их свойства. Системы линейных уравнений с неизвестными. Однородные системы линейных уравнений

1. Математика

Часть 1
УГТУ-УПИ
2006г.

2. Литература

1. Бугров Е.С. Элементы линейной алгебры и
аналитической геометрии / Е.С. Бугров, С.М.
Никольский. М.: Наука, 1984.
2. Сборник задач по математике для втузов / под
ред. А.В. Ефимова. М.: Наука, 1993. Часть 1.
3. Беклемишев Д.В. Курс аналитической
геометрии и линейной алгебры / Д.В.
Беклемишев. М.: Наука, 1984.
4. Наумов В.А. Руководство к решению задач по
линейной алгебре и аналитической геометрии /
В.А. Наумов. М.: Наука, 1993.
2

3.

Лекция 1
1. Матрицы. Определители.
Их свойства.
2. Системы m линейных уравнений с
n неизвестными.
3. Системы n линейных уравнений с
n неизвестными.
4. Однородные системы линейных
уравнений.
3

4.

Определители
Оглавление:
1.Определители второго порядка
Квадратная таблица чисел вида
a11
A
a21
a12
a22
называется матрицей второго порядка.
Определителем квадратной матрицы A второго порядка
называется число, равное
det A
a11
a12
a21 a22
a11a22 a21a12 .
Число представляет собой определитель первого порядка.

5.

Определители
Оглавление:
2.Определители третьего порядка
Определителем квадратной матрицы А третьего порядка
называется число, равное
a11
a12
det A A a21 a22
a31
a32
a13
a23
a33
a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
+
-
Число всех элементов определителя 3-го порядка
равно 3 3 = 9.

6.

Определители
Оглавление:
3. Свойства определителей (доказать самостоятельно)
1) Определитель квадратной матрицы А не меняется при
T
транспонировании: A A .
2) При перестановке местами двух строк (столбцов)
определитель |A| меняет знак:
a11
a12
a21 a22
a31
a32
a13 1
a21 a22
a23 2 a11
a12
a31
a32
a33 3
a23 2
a13 1
a33 3
.

7.

Определители
Оглавление:
3 ) Определитель, содержащий две одинаковые
строки
(столбца), равен нулю.
4) Умножение всех элементов некоторой строки (столбца)
определителя |A| на число k равносильно умножению
определителя на это число:
k a11
a12
a13
a11
a12
a13
k a21
a22
a23 k a21
a22
a23 , k const
k a31
a32
a33
a32
a33
a31

8.

Определители
Оглавление:
5) Если все элементы некоторой строки (столбца)
определителя |A| равны нулю, то и сам определитель равен
нулю (вытекает из предыдущего свойства при
k = 0):
a11
a12
0
0
a31 a32
a13
0 0
a33
.
6) Если все элементы двух строк (столбцов) определителя
|A| пропорциональны, то определитель равен нулю.

9.

Определители
Оглавление:
7) Если каждый элемент некоторой строки (столбца)
определителя представляет собой сумму двух слагаемых,
то такой определитель можно представить в виде суммы
двух определителей:
/
//
a11
a11
a12
/
//
a21
a21
a22
/
//
a31
a31
a32
/
a11
a12
a13
//
a11
a12
a13
/
a23 a21
a22
//
a23 a21
a22
a23
/
a31
a32
a33
//
a31
a32
a33
a13
a33

10.

Определители
Оглавление:
8 ) Если к элементам какой-нибудь строки (столбца)
определителя |A| прибавить соответствующие элементы
другой строки (столбца), умноженные на произвольный
множитель k, то величина определителя не изменится:
a11 k a12
a12
a13
a12
a13
a21 k a22
a22
a23 a21 a22
a 23
a31 k a32
a32
a33
a 33
a11
a31 a32
.

11.

Определители
Оглавление:
Еще одно свойство определителей (доказать самостоятельно)
9) Определитель |A| численно равен сумме произведений
элементов любой его строки на соответствующие
алгебраические дополнения:
a11 a12 a13
A a21 a22 a23 ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ai 3 Ai 3 , i 1, 2, 3
a31 a32 a33
.

12.

Определители
4.Определители n-ого порядка
Оглавление:
2
Число всех элементов определителя n -го порядка равно n
Минором Мij элемента аij определителя n-го порядка
называется определитель (n-1) -го порядка, полученный из
исходного вычеркиванием i-строки и j–столбца, на
пересечении которых стоит элемент aij.
.

13.

Определители
Оглавление:
4. Алгебраическое дополнение.
Алгебраическим дополнением Аij элемента аij
называется его минор со знаком (-1)i+j, где i – номер
строки, а j – номер столбца, на пересечении которых
стоит элемент aij
i j
Aij ( 1) M ij
.

14.

Определители
Оглавление:
5. Методы вычисления определителя n-ого порядка
1. Метод понижения порядка. Разложение определителя по
элементам строки или столбца
Определитель n-го порядка |A| численно равен сумме
произведений элементов любой его строки (столбца) на
соответствующие алгебраические дополнения.
2. Метод сведения к треугольному виду.
3. Метод рекуррентных соотношений.
Если определитель n-го порядка выражается через
определитель такого же вида более низкого порядка, то
рекуррентное соотношение позволяет вычислить определитель
n-го порядка, если известно его значение, например, для n=3.

15.

Определители и матрицы
1.Виды матриц
2.Операции над матрицами
3.Обратная матрица
4.Решение матричных уравнений
5.Ранг матрицы
Оглавление

16.

Определители и матрицы
Оглавление
1. Виды матриц
m n
Матрицей
размерности
прямоугольная таблица чисел aij :
называется
a11 a12
a
a
21
22
... ...
am1 am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn
A aij
m ,n
(aij ) m ,n

17.

Определители и матрицы
Оглавление
Частные виды матриц
0 0 0
0 0 0
0 0 0 - квадратная нулевая,
B 2 1 7,3 - матрица-строка,
7
C 3,5
0
- матрица-столбец,
6 0 0
A 0 2 0
0 0 11
- квадратная диагональная

18.

Определители и матрицы
4 1 2
D 0 7 5
0 0 1
1 0 0
E 0 1 0
0 0 1
Оглавление
- верхняя треугольная
-
единичная
1 4
1 2 3 AT 2 5
A
3 6
4 5 6
транспонированная
-

19.

Определители и матрицы
Оглавление

20.

Определители и матрицы
Оглавление
2. Операции над матрицами
Равенство A B aij bij .
Сумма C A B cij aij bij ; A B B A .
(Размерности матриц одинаковы)
Умножение на число B A bij aij ;
( ) A ( A) ,
( A B) A B ,
0 A ; Е A A .

21.

Определители и матрицы
Оглавление
A (ail )m,n
матрицы
Произведением
размерности m n на матрицу B (blj )n,k
размерности n k называется матрица
C cij m,k A B размерности
Am,n Bn,k Cm,k ,
m k
элементы которой вычисляются по формуле:
k
cij ail blj ai1 b1 j ai 2 b2 j ... aik bkj
l 1
i 1,..., m , j 1,..., k .

22.

Определители и матрицы
Оглавление

23.

Определители и матрицы
Оглавление
В общем случае A B B A,
если A B=B A, то матрицы перестановочные .
Свойства:
(A B) C = A (B C) = (A B) C = A (B C).
(A + B) C = A C + B C.
A (B + C) = A B + A C.
A E = E A = A.
A = A = .
(A B)T = B T AT.
det( A B) det A det B .

24.

Определители и матрицы
Элементарные преобразования матриц:
Оглавление
транспонирование;
перестановка строк (столбцов);
умножение строки (столбца) на число 0 ;
прибавление к элементам строки (столбца)
матрицы элементов другой строки, умноженных
на некоторое число;
отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы.

25.

Определители и матрицы
Оглавление
3. Обратная матрица
Квадратная матрица A называется
вырожденной, если A 0 , и
невырожденной, если A 0 .
-1
Матрица А называется обратной
матрицей для квадратной матрицы
А, если
A A 1 A 1 A E .

26.

Определители и матрицы
Оглавление
Теорема о существовании и единственности обратной
матрицы.
Если матрица A не вырождена, то существует
единственная обратная матрица A 1 , равная
1
V T
A
A ,
det A
1
AV Aij - присоединенная матрица (матрица,
где
составленная
из
алгебраических
элементов исходной матрицы).
дополнений

27.

Определители и матрицы
Оглавление
Основные методы вычисления обратной матрицы
Метод присоединенной матрицы
det A , проверяем, что det A 0 .
2. Находим M ij - все миноры матрицы A .
i j
A
(
1)
M ij .
3. Определяем ij
1. Находим
4. Строим
матрицу
алгебраических
дополнений
AV Aij
A .
V
транспонируем: A
T
ji
1
V T
A
A .
5. Делим каждый элемент матрицы на det A :
det A
1
и

28.

Определители и матрицы
Оглавление
Метод элементарных преобразований
Для невырожденной матрицы А n-го порядка
построим прямоугольную матрицу ( A E) размера
n 2n , приписывая к А справа единичную матрицу.
Используя
элементарные
преобразования
над
1
(
E
A
).
строками, приводим эту матрицу к виду

29.

Определители и матрицы
Оглавление
4. Решение матричных уравнений
Равенство, связывающее неизвестную матрицу X и
известные матрицы A , B ,… называется матричным
уравнением.

30.

Определители и матрицы
Оглавление
1. A X B . Матрица A - квадратная, A 0 .
1
Умножим уравнение на A
A 1 A X A 1B ,
2.
X A B
3. A X B C
слева:
E X A 1B ,
X B A 1 .
X A 1 C B 1 .
X A 1B .

31.

Определители и матрицы
Оглавление
5. Ранг матрицы
В матрице A размерности
m n
k строк и k столбцов, k min m, n .
выберем
Элементы, стоящие на пересечении выбранных
строк и столбцов, образуют квадратную матрицу
k -го
порядка .
Определитель M k
минором
этой матрицы называется
k -го порядка матрицы
A.

32.

Определители и матрицы
Оглавление
Рангом матрицы A называется число, равное
максимальному порядку r отличных от нуля
миноров Mk этой матрицы:
r r A rang A .

33.

Определители и матрицы
Оглавление
Метод окаймляющих миноров
Пусть в матрице A элемент aij 0 , тогда M 1 0 и
r A 1 . Окаймляем этот элемент элементами j 1 -го
столбца и i 1 -й строки, получаем минор 2-го порядка:
M2
ai , j
ai , j 1
ai 1, j
ai 1, j 1
.

34.

Определители и матрицы
Оглавление
Если M 2 0 , то присоединяем другие строки и столбцы,
перебирая все возможные миноры 2-го порядка. Если все
миноры второго порядка равны нулю, то r A 1; если же
существует хотя бы один минор 2-го порядка, отличный от
нуля, то r A 2 .
Выбираем отличный от нуля минор 2-го порядка M 2 и
окаймляем его элементами соседних строк и столбцов до
минора 3-го порядка и так до тех пор, пока не будет
выполнено условие: M r 0 , но все M r 1 0 .

35.

Определители и матрицы
Оглавление
Метод элементарных преобразований
! Элементарные преобразования матрицы не меняют
ее ранга.
Для определения ранга матрицы A методом
элементарных преобразований следует:
1. Переставить строки так, чтобы в верхнем левом углу
матрицы был ненулевой элемент.
2. Все элементы первого столбца, кроме a11 , обратить в
ноль:
a11 ... a1n
A
a
...
a
mn
m1
a11
0
0
a1n
amn

36.

Определители и матрицы
Оглавление
3. Повторить операцию со второй строкой: во втором
столбце должен быть ненулевой элемент, после чего все
элементы второго столбца, кроме a12 и a22 , обратить в
ноль.
4. После m-кратного применения указанной процедуры и
отбрасывания нулевых строк преобразованная матрица
будет иметь вид:
a11 a12
0 a
22
A ... ...
0
0
0
0
...
a1,r 1
a1r
...
...
a2,r 1
a2 r
...
...
...
...
...
... ar 1,r 1 ar 1,r
...
...
...
0
arr
rang A rang A r A r.
a1n
a2 n
...
ar 1,n
arn

37.

1
Системы m линейных уравнений с
n неизвестными.
Рассмотрим
a11 x1 a12 x2
a x a x
21 1
22 2
*
am 1 x1 am 2 x2
a1n xn b1 ,
a2 n xn b2 ,
amn xn bm
Обозначим
a11 a12
a 21 a 22
am1 am 2
a1n
a 2n - основная матрица
системы (*) размера
amn
[m n]
37

38.

x1
x2
- матрица – столбец неизвестных
размера [n 1]
xn
b1
- матрица – столбец свободных
b членов размера [m 1]
m
*
38

39.

Терминология
Определение .
Решением
системы
(*)
называется
совокупность значений x1 , x2 ,..., xn ,
обращающих каждое уравнение системы в
верное равенство (тождество).
Обозначение.
x1
x
2
X
...
xn
39

40.

Определение .
Система называется совместной, если решение
существует, и несовместной в противном
случае.
Определение .
a11
a21
A
...
am 1
a12
a22
...
am 2
... a1n b1
... a2 n b2
... ... ...
... amn bm
- расширенная
матрица системы
40

41.

Линейная зависимость строк (столбцов) матрицы
Рассмотрим основную матрицу системы как
набор строк i или столбцов
1
2
A
m
j
или
A 1 2 ... n
Определение.
Линейной комбинацией столбцов называется выражение
1 1 2 2 ... n n
Столбцы матрицы наз. линейно независимыми (ЛНЗ), если
1 1 2 2 ... n n 0
i 0, i 1,..., n
при
В случае, когда не все i равны нулю – линейно зависимыми.
41

42.

Определение.
Пусть матрица А размерности m n имеет ранг r .
Отличный от нуля минор порядка r , составленный из
элементов матрицы А, наз. базисным минором матрицы А.
Т
О базисном миноре
Если матрица m n имеет ранг r , то существует r
линейно независимых строк (столбцов). Из элементов
этих строк (столбцов) можно построить базисный
минор матрицы. Все остальные строки (столбцы)
являются линейными комбинациями данных (линейно
зависимыми).
42

43.

Т Кронекера-Капелли.
Для того, чтобы система (*) была совместной,
необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось условие
r ( ) r (A)
Доказательство.
Достаточность. Пусть r ( ) r ( A).
Столбцы матриц
а11
а1n
b1
и A:
a
a
b
21
2n
2
1
,..., n
,B
...
...
...
am 1
amn
bm
43

44.

Столбец В есть линейная комбинация столбцов
B x1 1 x2 2 ... xn n ,
основной матрицы
т.е. x1 , x2 ,..., xn 0, где x1 , x2 ,..., xn - решение системы.
Система совместна.
Необходимость.
Пусть система совместна, x1 , x2 ,..., xn - решение системы.
Система в матричном виде x1 1 x2 2 ... xn n B.
Столбец В – линейная комбинация столбцов 1 , 2 ,..., n,
т.е.добавление столбца свободных членов не
увеличивает ранга матрицы,
r ( ) r (A) .
44

45.

Выводы.
Если r ( ) r (A) , то система не имеет решений;
Если r ( ) r (A) , то возможны два случая:
1) Если
r n
, то решение единственно;
2) Если
r n
, то решений бесконечно много.
45

46.

Системы n линейных уравнений с
n неизвестными.
2.
Т
Система n линейных уравнений с n неизвестными
имеет единственное решение, если определитель
основной матрицы А не равен нулю ( det A 0 ).
Доказательство.
Система уравнений в матричном виде: A X=B
Пусть det A 0
A
-1
Умножим уравнение слева на
A A X=A B
-1
-1
A-1 A=E
A -1
X=A B
-1
46

47.

Следствия.
Если det A 0 , для решения системы уравнений
можно использовать следующие методы:
1. Матричный метод: X=A-1 B
2. Правило Крамера. Решения находят по формулам:
n
1
2
x1
, x2
,..., xn
,
-определитель основной матрицы системы
(главный определитель).
i - вспомогательный определитель, получен из
заменой i-го столбца на столбец свободных членов.
47

48.

3. Метод Гаусса.
Определение .
Элементарными преобразованиями системы являются:
перемена местами двух уравнений системы;
умножение уравнения системы на число k 0 ;
прибавление к одному уравнению системы другого
уравнения, умноженного на число k 0 .
Замечание .
1. Элементарным преобразованиям уравнений
соответствуют элементарные преобразования строк
расширенной матрицы системы A .
2. Элементарные преобразования матрицы не
изменяют ее ранга.
48

49.

Алгоритм метода Гаусса.
1. Для системы уравнений записывают
расширенную матрицу A .
2. Элементарными преобразованиями строк приводят
ее к трапециевидной форме.
3. Возвращаясь к системе уравнений, определяют
все неизвестные.
Метод Гаусса справедлив и для произвольных
систем m n
.
49

50.

3. Однородные системы линейных уравнений.
Определение.
Система (*) называется однородной, если
* * *
a11x1 a1n xn 0,
a x a x 0,
21 1
2n n
am1x1 amn xn 0.
Так как r ( ) r ( A)
Однородная система всегда совместна!
50

51.

a11x1 a1n xn 0,
a x a x 0,
21 1
2n n
am1x1 amn xn 0.
X 0 (0,0,...,0) - тривиальное (нулевое) решение ОС
Т1
Для того чтобы ОС (***) имела ненулевое
решение, необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось условие
r( ) n
51

52.

Доказательство.
Необходимость.
Если X X 0 ,
то r( A) r n
r( A) r n ? -нет, т.к. ранг матрицы не превышает
числа строк или столбцов.
r( A) r n ? - нет, т.к. в этом случае
i
0
! X : xi i 0 xi 0
- нулевое решение
r( A ) r n
Ч.т.д.
52

53.

Т2 (следствие Т1)
Для того чтобы ОС (***) имела ненулевое
решение, необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось условие
0
53

54.

Свойства решений однородной системы
1. Линейная комбинация решений системы
(***) является решением (***).
2. Система (***) имеет
ЛНЗ решений.
n r
Доказательство
По условию r n.
Пусть базисный минор Mr 0
расположен в левом верхнем углу матрицы А.
54

55.

Составим укороченную систему
a11 x1
a x
21 1
ar 1 x1
a1r xr a1r 1 xr 1
a1n xn ,
a 2 r x r a 2 r 1 x r 1
a2 n xn ,
ar 2 xr arr 1 xr 1
arn xn .
Базисные неизвестные
Значения вычисляются
Свободные неизвестные
Присваиваются
произвольные значения
55

56.

Присвоим конкретные значения своб. неизв.
xr 1 1;
xr 2 0,..., xn 0
Вычислим значения базисных неизвестных
1 , 2 ,..., r - единственное решение
укороченной системы.
X 1 1 , 2 ,..., r , 1, 0,..., 0 - решение ОС.
X 2 1 , 2 ,..., r , 0, 1,..., 0
- др. решение ОС.
................
X n r ( 1 , 2 ,..., r , 0, 0,..., 1) - др. решение ОС.
56

57.

1 ... r 1 0 ... 0
1 ... r 0 1 ... 0
... ... ...
1 ... r 0 ... ... 1
X 1 , X 2 ,..., X n r
- ЛНЗ.
Ч.т.д.
Определение.
n r
линейно
независимых
решений
однородной системы линейных уравнений
называются
фундаментальной
системой
решений (ФСР).
57

58.

Определение.
Общим решением системы (***) называется
x1 c1 , c2 ,..., cn r
)
c
,...,
c
,
c
(
x
n r
2 1 2
...
xr c1 , c2 ,..., cn r
X
c1
c2
cn r
Здесь c1 , c2 ,..., cn r произвольные
константы.
Частное решение
получают из общего
при конкретных
значениях констант
c1 , c2 ,..., cn r
58

59.

Т
Общее решение системы (***) можно представить
в виде линейной комбинации решений из
фундаментальной системы.
Определение.
Общим решением системы (***) называется
решение вида
X c1 X 1 c2 X 2 ... cn r X n r
Здесь c1 , c2 ,..., cn r - произвольные константы
X 1 , X 2 ,..., X n r - ФСР
59

60.

Пример.
Решить систему
2 x1 x2 5 x3 7 x4 0,
4 x1 2 x2 7 x3 5 x4 0,
2 x x x 5 x 0.
1
2
3
4
Решение.
Преобразуем основную матрицу
2 1 5 7
4 2 7 5
2 1 1 5
7
2 1 5
0 0 3 9
0 0 4 12
2 1 5 7
0 0 1 3
0 0 1 3
60

61.

2 1 5 7
0 0 1 3
Ранг матрицы равен 2
базисный минор
x2 , x3 - базисные неизвестные,
x1 , x4 - свободные неизвестные.
Запишем преобразованную систему
2 x1 x2 5 x3 7 x4 0,
x 3 3 x4 0
Полагая x1 c1 , x4 c2 , найдем
базисные неизвестные
x2 2c1 8c2 ,
x3 3c2 .
61

62.

c1
x1
x 2 c 8c
2
Общее решение системы X 2 1
x 3 3c 2
x
c
2
4
Найдем частные ЛНЗ решения, полагая
c1 1, c2 0
1
2
X 1 , c1 0, c2 1
0
0
0
8
X 2 .
3
1
X 1 , X 2 - фундаментальная система решений.
62

63.

Общее решение системы
1
0
2
8
X c1 X 1 c2 X 2 c1 c2
0
3
0
1
Такая запись общего решения называется
разложением по фундаментальной
системе решений.
63