Показательные и логарифмические неравенства. Определение

1. «Показательные и логарифмические неравенства»

2. Определение

Показательные неравенства –
это неравенства, в которых неизвестное
содержится в показателе степени.
Примеры:
3 9;
х
2 5 2
х
х 1
11

3. Простейшие показательные неравенства – это неравенства вида:

a a
b
a a
b
x
x
a a
x
b
a a
x
b
где a > 0, a 1, b – любое число.

4.

При решении простейших
неравенств используют свойства
возрастания или убывания
показательной функции.
a a
x b
a 1
x
b
a x ab
x b
0 a 1
Для решения более сложных
показательных неравенств используются те
же способы, что и при решении
показательных уравнений.

5.

Простейшие показательные неравенства
Двойные неравенства
Неравенства, решаемые вынесением за
скобки степени с меньшим показателем
Неравенства, решаемые заменой
переменной

6. Простейшие показательные неравенства

1). 3 9 3 3 x 2
х
x
2
Ответ : х 2.
х
x
1
1 1
1
2).
4
2
2 2
Ответ : х 2.
2
x 2

7. Двойные неравенства

1
3 x
3 9
3
1
3 x
3 3 3
3 > 1, то 1 3 x 2
2
1 3 x 2 3
4 x 1
Ответ: (- 4; -1).

8. Решение показательных неравенств

Метод: Вынесение за скобки степени с меньшим
показателем
3
3
х 3
3
3
х 3
1
х 3
3
1 х
3 10
3
3
1 3
(1 3 ) 10
3
3
х 3
х 3
(1 9) 10
х 3
10 10 : 10
Т.к.
3 > 1, то знак неравенства
остается прежним
х 3.
Ответ: х >3
0
х 3 0

9. Решение показательных неравенств

Метод: Замена переменной
1
3 (t 4) t 0
3
3 9 11 3 4
х
х
3 3 11 3 4 0
2х
х
3 t (t 0)
2
3t 11t 4 0
х
D 11 4 3 ( 4) 121 48 169 13
2
11 13 2 1
t1
2 3
6 3
11 13 24
t2
4
6
6
2
1
1
x
0 t ;0 3
3
3
1
3 3 ;
х
3>1, то
х 1.
Ответ: х < -1.

10.

11.

12.

13.

14.

Методы решения логарифмических
неравенств
1. Метод потенцирования.
2. Применение простейших свойств
логарифмов.
3. Метод разложения на множители.
4. Метод замены переменной.
5. Применение свойств
логарифмической функции.