Матричный метод решения СЛАУ (с помощью обратной матрицы)

1. Матричный метод решения СЛАУ (с помощью обратной матрицы)

Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 ,
a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a x a x a x b .
31 1 32 2 33 3 3
В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид A X B ,
где
a11 a12 a13
x1
b1
A a21 a22 a23 ;
a
a
a
33
31 32
X x2 ; B b2 .
x
b
3
3
1
Пусть A 0 . Тогда существует обратная матрица A . Если умножить
1
A
X
B
A
обе части равенства
на
слева, то получим формулу для
нахождения матрицы-столбца неизвестных переменных, т.е. A 1 A X A 1 B
или X A 1 B .
Так мы получили решение системы трёх линейных уравнений с тремя
неизвестными матричным методом.

2.

Пример решения СЛАУ матричным методом:
2 x1 3x2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
1.Перепишем систему уравнений в матричной форме:
2 3 1 x1 9
A X B 1 2 1 x2 3 .
1 0
x 2
2
3
2 3 1
Так как 1 2 1 2 2 2 3 1 1 1 1 0 1 2 1 3 1 2 2 1 0 13 ,
1 0 2
то систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными можно
решить матричным методом. С помощью обратной матрицы
решение этой системы может быть найдено как:
1
x
2
3
1
1
9
1
X A B x2 1 2 1 3 .
x 1 0 2 2
3

3.

2.Построим обратную матрицу A 1 с помощью матрицы из
алгебраических дополнений элементов матрицы A :
4
T
T
1 1
A11 A12 A13
4 1 2
4 6
1
1
1
1
1
A A21 A22 A23
6
5 3 1
5 3
A
13
13
1
1 3 7
2 3 7 2
A31 A32 A33
6
1
4
1
T
13
13
13
2
1
4 6
1
3 1
13
7
2
где
1
5
5 3
13 13
3 7
3
2
13 13
A11 1
1 1
2 1
4,
0 2
3
,
13
7
13
A12 1
1 2
1 1
1,
1 2
A21 1
3 1
2 2 2 1
A
1
5,
6, 22
1 2
0 2
A31 1
3 1
1,
2 1
2 1
3 1
A32 1
3 2
1 2
A13 1
2,
1 0
2 3 2 3
A23 1
3,
1 0
1 3
2 1
3 3 2 3
3, A33 1
7.
1 1
1 2

4.

3. Осталось вычислить матрицу неизвестных переменных, умножив
обратную матрицу на матрицу-столбец свободных членов:
4
6
1
6
1
4
9 3 2
13
13
13 13 9 13
13
4
1
5
3
1
5
3
1
X A B
3 9 3 2 0 ,
13 13
13
13
13 13
2
1
2
3
7
2 9 3 3 7 2
13
13 13 13
13
13
x1 4
X x2 0 .
x 1
3
Ответ:
x1 4, x2 0, x3 1 .

5. Задание

• Законспектируйте теоретический материал презентации
• По аналогии с примером решите СЛАУ:
х1 х2 2 х3 1
2 х1 х2 2 х3 4
4 х х 4 х 2
2
3
1