Представление вторичного квантования (фермионы)

1. Представление вторичного квантования (фермионы)

2.

Есть система тождественных фермионов
H H 0 H int
H 0 H1 ( i ) - Гамильтониан системы невзаимодействующих фермионов
i
H1 ( ) - Гамильтониан одного электрона во внешних силовых полях (одноэл. Г.)
H int - Гамильтониан взаимодействия между фермионами
Представление вторичного квантования – представление по базису из волновых
функций стационарных состояний невзаимодействующей системы

3.

Стационарные состояния системы невзаимодействующих тождественных
фермионов
1) Находим одночастичные стационарные состояния (уровни энергии и волновые
функции стационарных состояний одной отдельно взятой частицы, рассмотренной
в тех же силовых полях, что и весь газ)
H1 ( ) ( ) ( )
2) В стационарном состоянии всей системы в целом каждая из частиц
находится в одном из одночастичных стационарных состояний. Поэтому
стационарное состояние всего газа в целом однозначным образом задается
указанием чисел заполнения всех одночастичных стационарных состояний .
3) Для ферми-газа справедлив принцип запрета Паули, согласно которому в
одном одночастичном стационарном состоянии не может находится более
одного фермиона. Поэтому число заполнения одночастичного стационарного
состояния может принимать только два значения или 0, или 1.

4.

( i )
E ( N )
1 ( 1 ) 1 ( N )
1 2 ( 1 ) 2 ( N )
N!
N ( 1 ) N ( N )
N
1 2 0 - Принцип запрета Паули

5.

Волновую функцию произвольного состояния системы тождественных
фермионов (в том числе и взаимодействующих) можно разложить по базису из
волновых функций стационарных состояний невзаимодействующей системы
({ i }) C ({ N }) 0 ({ i };{N })
{N }
C ({ N })
- Волновая функция в представлении по базису из стационарных
состояний невзаимодействующей системы (в представлении
вторичного квантования)
Fˆ { i } fˆ ( i )
i
Fˆ { i } ({ i }) Fˆ {N } C ({ N }) 0 ({ i };{N })
Fˆ {N } f
т,n
n
{N }
n,m n m
aˆ aˆ
- оператор F в представлении вторичного квантования
f n ,m d ( ) fˆ ( ) m ( ) dr n ( ) fˆ ( ) m ( )

6.

aˆ mC ({ N } m , N m ) N mC ({ N } m , N m 1)
aˆ m C ({ N } m , N m ) (1 N m )C ({ N } m , N m 1)
aˆ m aˆ mC ({ N } m , N m ) N m aˆ m C ({ N } m , N m 1) N mC ({ N } m , N m )
Nˆ m aˆ m aˆ m - Оператор числа частиц в одночастичном состоянии m
aˆ n aˆ m aˆ m aˆ n n ,m
aˆ n aˆ m aˆ m aˆ n 0
aˆ n aˆ m aˆ m aˆ n 0
Антикоммутационные соотношения – следствие
принципа запрета Паули

7.

Полевые операторы
n
n
ˆ ( ) n ( )aˆ ; ˆ ( ) n* ( )aˆ n
n
Fˆ N d ˆ ( ) fˆ ( ) ˆ ( )
Gˆ gˆ i , j
i, j
Gˆ N d 1d 2 ˆ ( 1 ) ˆ ( 2 ) gˆ 1 , 2 ˆ ( 2 ) ˆ ( 1 )
ˆ ( 1 ) ˆ ( 2 ) ˆ ( 2 ) ˆ ( 1 ) 1 2 r1 r2 1, 2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) 0
ˆ ( 1 ) ˆ ( 2 ) ˆ ( 2 ) ˆ ( 1 ) 0

8.

Одноэлектронная матрица плотности

9.

Если система взаимодействует с окружающей средой, то ее нельзя описать
собственной волновой функцией, зависящей только от ее координат.
Используется более общий аппарат квантовой механики – теория матрицы
плотности
Постулат фон Неймана. Можно ввести эрмитовый оператор ρ (оператор
плотности), который действует только на координаты изучаемой
макроскопической системы и содержит в себе всю информацию об
окружающей среде, существенную для описания макроскопического состояния
изучаемой системы. Статистическое среднее физической величины системы
F Sp( Fˆ ˆ ) Sp( ˆFˆ )
Sp( Aˆ Bˆ ) Sp( Bˆ Aˆ )
-Вычисляется по базису из волновых функций нашей
системы (в пренебрежении ее взаимодействия с
окружающей средой)
- Шпур не зависит от порядка следования операторов
Шпур не зависит от выбора базиса => статистическое среднее можно
вычислять по любому базисному набору волновых функций изучаемой
системы (выбор базиса – вопрос удобства)

10.

F F ˆ ˆ
Можно диаганолизовать (построить базис из собственных векторов)
ˆ i wi i i базис и Im wi 0
Fˆ Iˆ
1 Sp ( ˆIˆ) Sp ( ˆ ) wi
i
1) wi
2) wi 0
3) wi 1
-формальное определение вероятности
i
4) F wi f ii
i
wi
- Можно интерпретировать как вероятность того, что система находится в
чистом (описываемом волновой функцией) состоянии i

11.

Классическая теория. Термодиномическое состояние описывается функцией
распределения ρ(q,p,t).
Ключевой момент -
вследствие того, что энергия взаимодействия
макроскопической системы с окружающей средой существенно меньше ее
внутренней энергии, то систему можно пологать квазизамкнутой и считать,
что для нее выполняется теорема Лиувилля: вдоль фазовой траектории
d
0
dt
d (q, p, t )
qi
p i
dt
t
pi
i qi
H
H
qi
; pi
pi
qi
H H
d (q, p, t )
dt
t
pi qi
i qi pi

12.

H , - Классическое уравнение Лиувилля
t
H H - Скобка Пуассона
, H
pi qi
i qi pi
В равновесии статистические средние не зависят от времени
0
t
H , 0 В равновесии функция распределения явно зависит только от
функции Гамильтона системы (координаты и импульсы входя в ρ
только в виде определенной комбинации – функции Гамильтона)
1
H (q, p ) - Каноническое распределение (фикс. Число частиц)
exp
Z
T
H ( q, p )
Z dqdp exp
- стат. интеграл
T
F T ln Z - Термодинамический потенциал (свободная энергия Гельмгольца)
1
H (q, p, N ) N - Большое каноническое распределение
(q, p, N ) exp
Q
T
(переменное число частиц)
H (q, p ) - большой статистический интеграл
Q dqdp exp
T
N
T ln Q - большой термодинамический потенциал
( q, p )

13.

Квантовая теория. Термодинамические свойства системы описываются
оператором плотности.
ˆ
- «Квантовомеханический оператор функции распределения»
Вследствие того, что энергия взаимодействия системы с окружающей средой
существенно меньше ее внутренней энергии, то систему можно полагать
квазизамкнутой и считать
d ˆ
0
ˆ i
dt
ˆ
ˆ
,
H
d ˆ ˆ i ˆ
dt
H , ˆ
dt
dt
- Квантовое уравнение Лиувилля

14.

ˆ i
ˆ , Hˆ - Классическое уравнение Лиувилля
t
В равновесии статистические средние не зависят от времени
0
t
Hˆ , ˆ 0 Гамильтониан и оператор плотности имеют общий базис
Hˆ n n n n ,m wn n ,m ; wn
F Fn ,n wn
n
В оператор плотности явно зависит только от оператора Гамильтона
Hˆ
1
exp - Каноническое распределение (фикс. Число частиц)
Z
T
Hˆ
Z Sp exp exp n
- стат. сумма
T n
T
F T ln Z - Термодинамический потенциал (свободная энергия Гельмгольца)
Hˆ ( N ) Nˆ
1
- Большое каноническое распределение
ˆ
(q, p, N ) exp
Q
T
(переменное число частиц)
( N ) N
- большой статистический интеграл
Q exp n
T
N ,n
T ln Q - большой термодинамический потенциал
ˆ

15.

Вычисление производных величин по времени
F Sp( ˆFˆ )
Fˆ
ˆ ˆ
dF
ˆ
F Sp ˆ
Sp( ˆF ) Sp
dt
t
t
Fˆ i
dF
ˆ i
ˆ
Sp ˆ , Hˆ Fˆ
Sp ˆ
ˆ , H
dt
t
t
Sp( AB) Sp( BA)
Sp ˆ , Hˆ Fˆ Sp ˆHˆ Fˆ Sp ˆHˆ Fˆ Sp Hˆ Fˆ ˆ Sp ˆFˆHˆ Sp ˆHˆ Fˆ Sp ˆFˆHˆ
Sp ˆ Hˆ , Fˆ
Fˆ i
dF
ˆ
ˆ , H
Sp ˆ
t
dt
dFˆ Fˆ i
dFˆ
dF
ˆ , Hˆ
,
t
dt
dt
dt

16.

Система тождественных фермионов
Fˆ fˆ ( i )
i
F Sp ( ˆFˆ )
Вычисляем шпур по базису из Слеттеровских определителей
( )
- Одночастичный базис (для одной частицы)
( i )
1 ( 1 ) 1 ( N )
1 2 ( 1 ) 2 ( N )
N!
N ( 1 ) N ( N )
- формируют базис для
системы частиц

17.

F Sp( ˆFˆ )
{N } ˆFˆ {N }
{N }
{N } ˆ {N }
{ N },{ N }
{N } Fˆ f i {N } Совпадает с матр. Элем. Опер.
F f n ,m
n,m
i
{N } Fˆ {N }
Fˆ f n ,m aˆ n aˆ m
n,m
n m
{N } ˆ {N } {N } aˆ n aˆ m {N } f n ,m Sp( ˆaˆ aˆ )
{ N },{ N }
n m
n,m
g m,n Sp( ˆaˆ aˆ )
F f n ,m g m ,n Sp( fˆgˆ )
- Вычисляется по одночастичному базису
n,m
*
g m* ,n Sp(aˆ m aˆ n ˆ ) Sp( ABC ) Sp(C B A )
- Эрмитова матрица
ˆ ˆ
*
g m,n g n,m
Sp( AB) Sp( BA)
g n ,n Sp( ˆaˆ n aˆ n ) Sp( ˆNˆ n ) N n
- Среднее число частиц в состоянии n

18.

Уравнение для одночастичной матрицы плотности (одночастичное
уравнение Лиувилля) для системы невзаимодействующих
тождественных фермионов
Рассмотрим систему тождественных невзаимодействующих фермионов ( или с
взаимодействием, учтеным в приближении самосогласованного поля Хартри).
n ( )
- одночастичный базис
ˆ
H H n ,m aˆ n aˆ m n aˆ n aˆ n Vn ,m aˆ n aˆ m
n ,m
n
n,m
ˆ
g n ,m Sp ( ˆaˆ aˆ )
Sp
aˆ m aˆ n
dt
t
dg n ,m i
ˆ i
ˆ
ˆ , H
Sp ˆ , Hˆ aˆ m aˆ n
t
dt
m n
dg n ,m

19.

dg n ,m
i
i
ˆ
Sp ˆ , H aˆ m aˆ n Sp ˆHˆ aˆ m aˆ n Sp Hˆ ˆaˆ m aˆ n
dt
dg n ,m i
Sp( AB) Sp( BA)
Sp Hˆ aˆ m aˆ n ˆ Sp ˆaˆ m aˆ n Hˆ
dt
dg n ,m i
Sp ˆ Hˆ , aˆ m aˆ n
dt
dg n ,m i
ˆ
H H , p aˆ aˆ p
H , p Sp ˆ aˆ aˆ p , aˆ m aˆ n
dt
, p
, p
aˆ m aˆ n aˆ n aˆ m n ,m
ˆam aˆ n aˆ n aˆ m 0 aˆ aˆ p aˆ m aˆ n m , p aˆ aˆ n ,n aˆ m aˆ p aˆ m aˆ n aˆ aˆ p
aˆ m aˆ n aˆ n aˆ m 0
aˆ aˆ , aˆ aˆ aˆ aˆ aˆ aˆ
p
m n
p m n
aˆ m aˆ n aˆ aˆ p m, p aˆ aˆ n ,n aˆ m aˆ p

20.

dg n ,m
i
H p ,m Sp ˆaˆ p aˆ n H n , p Sp ˆaˆ m aˆ p
dt
p
dg n ,m i
g n , p H p ,m H n , p g n ,m
dt
p
gˆ i
gˆ , Hˆ - Одночастичное уравнение Лиувилля
t

21.

dFˆ dFˆ Fˆ i ˆ ˆ
dF
dFˆ
,
Sp ˆ
H,F
dt
dt
t
dt dt
Fˆ f ( i ) Fˆ f m ,n aˆ m aˆ n
i
m,n
F Sp ( gˆfˆ ) g n ,m f m,n
n,m
dFˆ i
f m,n Hˆ , aˆ m aˆ n
dt m ,n
dFˆ i
ˆ
H H , p aˆ aˆ p
f m,n H , p aˆ aˆ p , aˆ m aˆ n
dt m,n , , p
, p
dFˆ i
aˆ aˆ p , aˆ m aˆ n m , p aˆ aˆ n ,n aˆ m aˆ p
H ,m f m,n H , p aˆ aˆ p H n , p f m ,n aˆ m aˆ p
dt m ,n , ,
dF i
H , m f m , n g n , g , m f m , n H n ,
dt m,n , ,
Fˆ Nˆ k aˆ k aˆ k m ,k n ,k aˆ m aˆ n f m,n m ,k n ,k
m,n
dN k i
g k , H ,k g ,k H k , - Поток частиц в энергетическом пр-ве из сост. k
dt

22.

dN k i
g k , H , k g , k H k ,
dt
Hˆ n aˆ n aˆ n Vn ,m aˆ n aˆ m H n ,m n n ,m Vn ,m 1 n ,m
n
n,m
( n m)
dN k i
i
k g k ,k k g k ,k g k , V ,k g ,kVk ,
dt
g ,k g ,k and Vk , Vk*, g ,kVk , g k , V ,k
dN k
2
z z 2i Im z
Im(V ,k g k , )
dt