(4.3-5.1) 3_Eigenfunctions (2)

1.

Собственные функции
1. «Игрушечная» задача. Найти собственные функции оператора чётности
Уравнение на собственные значения
Iˆ I x I I x
Собственные функции?

2.

Собственные функции
Собственные значения
I 1
Уравнение на собственные значения
Iˆ I x I I x I x
Но
Iˆ I x I x I x
Собственные функции – чётные и нечётные функции аргумента
I 1, I x I x ; I 1, I x I x

3.

Оператор координаты
Постулат: среднее значение оператора физической величины fˆ в состоянии, описываемом
волновой функцией x , определяется равенством
f dx * x fˆ x
Среднее значение координаты
x dx x x dx * x x x dx * x xˆ x
Оператор координаты в координатном представлении
x̂ x x x
Является ли оператор координаты эрмитовым?
Задача. Волновая функция частицы определяется равенством
p0 x x 2
x C exp i
2
2a
Вычислить
x , x x , p, p p
2
2

4.

Задача: найти собственные значения и собственные функции оператора
fˆ pˆ xˆ, * , *
Надо решить уравнение
pˆ xˆ f x f f x
Собственные функции должны быть ограниченными
f x M , M M * , x ] , [

5.

Явный вид уравнения
d
x
i dx
f x f f x
Или
d f x
f x
i
f x dx
Решение
i
x2
f x C f exp
fx
2
Какие ограничения необходимо наложить на f ?

6.

Ограничение на собственные зачения
f f*
Воспользовавшись условиями ортогональности
*
dx
f x f x f f
полноты
*
df
f x f x x x
и свойствами дельта-функции, найти нормировочный коэффициент
Cf ?

7.

Условие ортогональности
i
dx
x
x
C
C
dx
exp
f
f
x
f
f
f f
f
*
f
Или
2 C f f f f f
2
Cf
1
2
Так как волновая функция определена с точностью до фазового множителя, то
Cf
1
2

8.

Условие полноты
*
df
f x f x C f
2
i
i
exp
x 2 x 2 df exp
f x x x x
2
Свойство дельта-функции
f x, x x x f x, x x x f x , x x x
Тогда
2 C f
2
x x x x
Cf
1
2
Так как волновая функция определена с точностью до фазового множителя, то
Cf
1
2
Ответ
i
x2
f x
exp
fx
2
2
1

9.

Собственные функции оператора импульса
Воспользовавшись результатами предыдущей задачи, найти собственные функции
оператора импульса?

10.

Собственные функции оператора импульса
fˆ pˆ xˆ 1, 0 pˆ
Тогда
eipx /
p x
2

11.

Собственные функции оператора координаты
Казалось бы, что можно воспользоваться результатами предыдущей задачи
fˆ pˆ xˆ 0, 1 xˆ
но возникает неопределённость
i
x2
f x
exp
fx
2
2
1
Поэтому решим уравнение на собственные значения непосредственно для оператора
координаты!

12.

Уравнение на собственные значения
xˆ x0 x x0 x0 x
Или
x x0 x x0 x0 x
x x0 x x 0
0
Плюс условия ортогональности и полноты
*
dx
x0 x x0 x x0 x0
*
dx
0 x0 x x0 x x x
x0 x ?

13.

Ответ
x0 x x x0

14.

Трудности интерпретации физического смысла собственных значений оператора с
непрерывным спектром (на примере оператора импульса).
Постулат: волновая функция, описывающая состояние физической системы
ДОЛЖНА быть квадратично интегрируема!