лекция 1 матрицы и определители

1.

Элементы линейной
алгебры

2.

Матрицы

3.

Основные понятия
Прямоугольной матрицей порядка (mхn)
называется таблица элементов
m - количество строк,
n - количество столбцов.
Значения m и n называются размерностью
матрицы.

4.

Примеры:
Матрица А имеет размерность (3х5),
т.е. 3 строки, 5 столбцов.
2)
Матрица В имеет размерность (3х3).

5.

Матрица называется квадратной, если
количество столбцов равно количеству
строк
Элементы
называются элементами главной диагонали.

6.

• Квадратная матрица называется
диагональной, если все ее элементы, не
стоящие на главной диагонали, равны нулю.
• Квадратная матрица называется
треугольной, если все ее элементы,
стоящие над или под диагональю, равны
нулю.
• Диагональная матрица называется
единичной, если все ее элементы, стоящие
на главной диагонали, равны 1.

7.

• Матрица называется нулевой, если все ее
элементы равны нулю.
• Матрица называется матрицей,
транспонированной к данной, если
элементы строк и столбцов исходной
матрицы поменять местами.
исходная матрица
транспонированная

8.

Действия над матрицами.
1) Матрицы с одинаковой размерностью
можно складывать, в результате получим
матрицу той же размерности:
А+В = С
Пример:

9.

2) Любую матрицу можно умножить на
число, для этого достаточно каждый
элемент матрицы умножить на это число.
Пример:
2)

10.

3) Две матрицы можно перемножать, если
количество столбцов одной матрицы равно
количеству строк другой матрицы.
Если матрица А имеет размерность (mxn), а
матрица В имеет размерность (nxk), то
размерность матрицы произведения С=А*В,
равна (mxk), а элементы вычисляются по
формуле
где i=1,2,…m, j=1,2,…k.

11.

Пример:
Вычислить произведение матриц А*В
Решение:
Матрица А имеет размерность (2х3).
Матрица В имеет размерность (3х3).
Число столбцов матрицы А равно числу строк
матицы В, значит можно перемножить А на В.

12.

Очевидно, произведение матриц В*А
вычислить нельзя, т.к. их размерности не
соответствуют правилу произведения
матриц.
Можно доказать, что для любых матриц,
т.е.

13.

Определители

14.

Для каждой квадратной матрицы можно
вычислить определитель.
Определитель – это число.
Обозначается определитель
.
Порядок определителя определяется
количеством строк или столбцов:
• В определителе второго порядка 2строки и 2
столбца.
• В определителе третьего порядка 3строки и 3
столбца.
и т.д.

15.

Пусть дана квадратная матрица 2-ого порядка
Тогда ее определитель имеет вид:
и вычисляется по формуле
Пример

16.

Пусть дана квадратная матрица 3-ого порядка
Тогда определитель матрицы имеет вид
И вычисляется по формуле

17.

Схематично формулу можно представить так:
Пример

18.

Свойства определителей
1. Определитель не меняется при
транспонировании.
2. Если две строки или два столбца
определителя поменять местами, то
определитель меняет знак.
3. Общий множитель строки или столбца
можно выносить за знак определителя.
4. Если элементы какой-либо строки (или
столбца) равны элементам другой строки
(или столбца), то данный определитель
равен нулю.

19.

5. Если элементы какой-либо строки (или
столбца) пропорциональны элементам
другой строки (или столбца), то данный
определитель равен нулю.
6. Если элементы какой-либо строки (или
столбца) определителя равны нулю, то
данный определитель равен нулю.
7. Если какой-либо столбец или строка
представляет сумму элементов, то данный
определитель можно представить в виде
суммы соответствующих определителей

20.

Минором элемента матрицы А
называется определитель, полученный
вычеркиванием строки и столбца, на
пересечении которых стоит данный элемент.

21.

Обозначается минор
.
Пример
Для матрицы
минор элемента
минор элемента
будет равен

22.

Алгебраическим дополнением элемента
называется значение минора этого элемента, взятого
с тем же знаком, если i+j четное и с
противоположным знаком, если i+j нечетное, т.о.
Из выше приведенного примера алгебраическое
дополнение элемента
будет равно
алгебраическое дополнение элемента
равно
будет

23.

8) Определитель равен сумме произведений
элементов какой-либо строки (или какоголибо столбца) на их алгебраические
дополнения.
Например, для определителя третьего
порядка, можно записать:

24.

Пример
Вычислить определитель разложением по первой
строке
Решение:

25.

Вычислить определитель разложением по первому
столбцу.
Такой способ вычисления определителя называется
разложением по строке (или по столбцу).
Этим способом можно вычислять определители
любого порядка.

26.

9) Сумма произведений элементов какойлибо строки (или какого-либо столбца) на
алгебраические дополнения элементов
другой строки (столбца) равна нулю.

27.

МАТРИЦА, ОБРАТНАЯ К ДАННОЙ
Квадратная матрица называется
невырожденной, если ее определитель не
равен нулю.
Матрица
называется, обратной к данной
матрице А, если выполняется условие:
где Е – единичная матрица.

28.

Можно доказать, что любая
невырожденная матрица имеет обратную.

29.

Формула нахождения обратной матрицы
Пусть дана невырожденная матрица:
Составим матрицу из алгебраических дополнений
элементов матрицы А и транспонируем ее.
Такая матрица называется союзной:
Тогда обратная матрица вычисляется по формуле

30.

Пример
Найти матрицу, обратную данной
Решение
1)Вычислим определитель матрицы
значит, матрица А - невырожденная и имеет
обратную матрицу.

31.

Вычислим алгебраические дополнения элементов
матрицы А:

32.

тогда союзная матрица имеет вид
Вычислим обратную матрицу:
Выполним проверку, согласно определению:

33.

Условие выполнено, значит, матрица найдена верно.
Ответ: обратная матрица имеет вид