17_10_sistemy_schislenia

1. Понятие и виды систем счисления

Непозиционные и позиционные системы счисления
Алфавит и основание системы счисления

2. Система счисления

Система счисления (СС, с.с.) — это способ записи
чисел с помощью специальных знаков — цифр.
Числа: 12, 45 789, XIV.
Цифры: 0, 1, 2, 3,... I, V, X,...
Система счисления
Непозиционная
система счисления
Позиционная
система счисления
Системы счисления,
в которых значение числа
НЕ зависит
от позиции цифры в нем
Системы счисления,
в которых значение числа
зависит
от позиции цифры в нем

3. Непозиционные системы счисления

Унарная с.с. — одна цифра обозначает
единицу (1 день, 1 камень, 1 баран).
Римская с.с.
I – 1 (палец);
V – 5 (пять пальцев);
X – 10 (две ладони);
L – 50 (Quinquaginta);
C – 100 (Centum);
D – 500 (Demimille);
M – 1000 (Mille).
Меньший знак, поставленный
слева от большего, вычитается
из него, а в остальных случаях
знаки складываются:
IV → 5 – 1 = 4
VI → 5 + 1 = 6

4. Непозиционные системы счисления

Примеры:
MDCXLIV = 1000 + 500 + 100 – 10 + 50 – 1 + 5 = 1644
2389 = 2000 + 300 +
MM
CCC
80
LXXX
+
9
IX
2389 = MMCCCLXXXIX
Для записи больших чисел надо вводить
новые знаки-цифры.
Невозможность записи дробных чисел.
Сложность выполнения арифметических операций.

5. Позиционные системы счисления

Алфавит системы счисления — это набор цифр,
с помощью которых записываются числа.
Пример:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Основание — это количество
цифр в алфавите системы счисления.
Записывается в виде нижнего индекса.
Пример:
1010, 2345, 1342560.

6. Позиционные системы счисления

• десятичная — количество пальцев на руках,
используется при счете;
• двенадцатеричная — количество фаланг пальцев
на руке при подсчете их большим
(1 дюжина = 12 штук);
• шестидесятеричная (60 = 12 × 5), используется
в единицах измерения времени, астрономии,
геометрии и др. областях.
Название Основание
Алфавит
10 с. с.
10
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
2 с. с.
2
{0, 1}
8 с. с.
8
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
16 с. с.
16
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, C, D, E, F}

7. Задание

Запишите цифры от 0 до 10 в следующих с. с.:
10 с. с.
2 с.с.
3 с.с.
4 с. с.
5 с. с.
6 с. с.
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
2
3
10
11
2
10
2
3
2
3
2
3
4
100
11
10
4
4
5
101
12
11
10
5
6
110
20
12
11
10
7
111
21
13
12
11
8
1000
22
20
13
12
9
1001
100
21
14
13
10
1010
101
22
20
14

8. Развернутая запись числа

Разряд — это позиция цифры в числе.
сотни десятки единицы
2
1
разряды
0
3 7 8 = 3 × 102 + 7 × 101 + 8 × 100
300
70
8
Aq = ± (an-1qn-1 + an-2qn-2 + ... + a0q0 + a-1q-1 + a-2q-2 + ... + a-mq-m)
ai
q
n
m
Цифры числа
Основание системы счисления (210 = 102, 310 = 103)
Число разрядов целой части числа
Число разрядов дробной части числа

9. Перевод чисел в позиционных системах счисления

Перевод в 10 с.с.
Перевод целой и дробной части числа из 10 с.с.

10. Перевод в 10 с.с. из других с.с.

Для перевода числа в 10 с.с., необходимо записать
его в развернутой форме и произвести вычисления.
Полученный результат будет записан в 10 c.с.
Aq = ± (an-1qn-1 + an-2qn-2 + ... + a0q0 + a-1q-1 + a-2q-2 + ... + a-mq-m)
Пример:
3 2 1 0 -1 -2
1243,445 = 1 × 53 + 2 × 52 + 4 × 51 + 3 × 50 + 4 × 5-1 +
+ 4 × 5-2 = 1 × 125 + 2 × 25 + 4 × 5 + 3 × 1 + 4 × 1/5 +
+ 4 × 1/25 = 125 + 50 + 20 + 3 + 0,8 + 0,16 = 198,9610

11. Перевод из 10 с.с. в другие с.с.

Алгоритм перевода целой части числа:
1. Основание новой с.с. выразить в 10 с.с.
2. Последовательно выполнять деление исходного
числа и получаемых частных на основание с.с.
до тех пор, пока не получим ноль.
3. Полученные остатки привести
в соответствие с алфавитом новой с.с.
4. Составить число в новой с.с, записывая
его начиная с последнего остатка.

12. Перевод из 10 с.с. в другие с.с.

Пример:
Перевести число 3710 в 2, 8 и 16 с.с.
37 2
36 18 2
1 18 9
0 8
1
2
4
4
0
3710 = 1001012
2
2
2
0
37 8
32 4
5 0
4
2
1
0
1
2
0
8
0
37 16
32 2 16
5 0 0
2
3710 = 458
3710 = 2516

13. Перевод из 10 с.с. в другие с.с.

Алгоритм перевода дробной части числа:
1. Основание новой с.с. выразить в 10 с.с.
2. Последовательно выполнять умножение исходного
числа и получаемых дробных частей произведения
на основание системы счисления до тех пор,
пока не получим ноль или нужную точность
представления числа.
3. Полученные целые части произведений привести
в соответствие с алфавитом новой с.с.
4. Составить дробную часть числа, начиная с целой
части первого произведения.

14. Перевод из 10 с.с. в другие с.с.

Пример:
Перевести число 0,187510 в 2, 8 и 16 с.с.
0,1875
×
2
0,3750
×
2
0,7500
×
2
1,5000
×
2
1,0000
0,187510 = 0,00112
0,1875
×
8
1,5000
×
8
4,0000
0,1875
×
16
1,1250
+
1,875
3,0000
0,187510 = 0,148
0,187510 = 0,316

15. Перевод из 10 с.с. в другие с.с.

Алгоритм перевода смешанных чисел:
1. Основание новой с.с. выразить в 10 с.с.
2. Перевести в новую с.с. целую часть числа.
3. Перевести в новую с.с. дробную часть числа.
4. В итоговой записи числа в новой с.с. сначала
записывается целая часть, затем дробная.
В качестве разделителя используется запятая.

16. Перевод из 10 с.с. в другие с.с.

Пример:
Перевести число 25,5310 в 2 с.с., оставив три знака
после запятой.
0,53
25 2
×
2
24 12 2
1,06
1 12 6 2
×
2
0 6 3 2
0,12
0 2 1 2
×
2
1 0 0
0,24
1
25,5310 = 11001,1002

17. Домашнее задание

Выполните задания из отдельного текстового файла
практической работы.