Виды позиционных систем счисления

1. Виды позиционных систем счисления

ВИДЫ ПОЗИЦИОННЫХ
СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ

2.

Система счисления
Основание
Алфавит
Двоичная
2
0,1
Восьмеричная
8
0,1,2,3,4,5,6,7
Десятичная
10
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Шестнадцатеричная
16
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,
C,D,E,F

3. Таблица соответствия

ТАБЛИЦА СООТВЕТСТВИЯ
2-ая
8-ая
10-ая
16-ая
0
0
0
0
1
1
1
1
10
2
2
2
11
3
3
3
100
4
4
4
101
5
5
5
110
6
6
6
111
7
7
7
1000
10
8
8
1001
11
9
9
1010
12
10
А
1011
13
11
В
1100
14
12
С
1101
15
13
D
1110
16
14
E
1111
17
15
F

4. Правила перевода

ПРАВИЛА ПЕРЕВОДА
Перевод чисел из 2 с.с. в 8 с.с.
Чтобы перевести число из двоичной системы в
восьмеричную, его нужно разбить влево и
вправо от запятой на триады. И каждую такую
группу заменить соответствующей
восьмеричной цифрой

5. Пример 1

ПРИМЕР 1
Перевести смешанное число 111010100,1010112
в восьмеричную систему счисления.
8
0
1
2
3
4
5
6
7
2
000
001
010
011
100
101
110
111
Группы по три двоичных знака выделяются
от запятой как влево, так и вправо.
111 010 100, 101 011
Затем производится перекодировка по
двоично-восьмеричной таблице:
7 2 4, 5 3
Следовательно,
111010100,1010112 = 724,538

6. Выполнить перевод из 2 с.с. В 8 с.с.

ВЫПОЛНИТЬ ПЕРЕВОД ИЗ 2 С.С. В 8 С.С.
10101001101112
1001111110111,01112
1110101011,10111012
10111001,1011001112
1011110011100,112
10111,11111011112
1100010101,110012

7. Правила перевода

ПРАВИЛА ПЕРЕВОДА
Перевод чисел из 8 с.с. в 2 с.с.
Каждую цифру восьмеричного числа заменяем
эквивалентной ей двоичной триадой
двоичной системы счисления

8. Пример 2

ПРИМЕР 2
Перевести смешанное число 537,18 в
двоичную систему счисления
8
0
1
2
3
4
5
6
7
2
000
001
010
011
100
101
110
111
Каждую цифру восьмеричного числа
заменяем на соответствующую ей триаду
цифр двоичного числа
5 3
7 , 1
101 011 111 , 001
Следовательно,
537,18= 101011111,0012

9. Выполнить перевод из 8 с.с в 2 с.с.

ВЫПОЛНИТЬ ПЕРЕВОД ИЗ 8 С.С В 2 С.С.
6778
745,348
1258
2268
17008
344,558
0,7128
4,368

10. Правила перевода

ПРАВИЛА ПЕРЕВОДА
Перевод чисел из 2 с.с. в 16 с.с.
Чтобы перевести число из двоичной системы в
шестнадцатеричную, его нужно разбить влево
и вправо от запятой на тетрады. И каждую
такую группу заменить соответствующей
шестнадцатеричной цифрой.

11. Пример 1

ПРИМЕР 1
16
0
1
2
3
4
5
6
7
2
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
8
9
A
B
C
D
E
F
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Перевести число в
шестнадцатеричную с.с.
110000010010,1002
1100 0001 0010, 1000
С
1
2 , 8
Следовательно,
110000010010,1002 = С12,816

12. Выполнить перевод из 2 с.с. В 16 с.с.

ВЫПОЛНИТЬ ПЕРЕВОД ИЗ 2 С.С. В 16 С.С.
10101001101112
1001111110111,01112
1110101011,10111012
10111001,1011001112
1011110011100,112
10111,11111011112
1100010101,110012

13. Правила перевода

ПРАВИЛА ПЕРЕВОДА
Перевод чисел из 16 с.с. в 2 с.с.
Каждую цифру шестнадцатеричного числа
заменяем эквивалентной ей двоичной
тетрадой двоичной системы счисления

14. Пример 2

ПРИМЕР 2
Перевести смешанное число 53А,116 в
двоичную систему счисления
Каждую цифру шестнадцатеричного числа
заменяем на соответствующую ей тетраду
цифр двоичного числа
5
3
А , 1
0101 0011 1010 , 0001
Следовательно,
53А,116= 10100111010,00012

15. Выполнить перевод из 16 с.с в 2 с.с.

ВЫПОЛНИТЬ ПЕРЕВОД ИЗ 16 С.С В 2 С.С.
67716
745,3416
12516
2D616
17C016
344,5516
0,7F216
А,3616

16. Домашнее задание

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
Заполнить таблицу
Двоичная
Восьмеричная Шестнадцатеричная
111101,1
233,5
59,В

17. Перевод целых чисел из 10 с.с. В любую другую

ПЕРЕВОД ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ИЗ
10 С.С. В ЛЮБУЮ ДРУГУЮ

18.

Правила перевода:
1.
2.
3.
Десятичное число последовательно делить
на основание другой системы, до тех пор
пока частное не окажется меньше
основания.
Запись получившегося числа
осуществляется справа налево.
Цифрами числа будут являться остатки от
деления, начиная с последнего частного.

19. Пример

ПРИМЕР
Перевести число 6310 в 2 с.с.
2
63
62 31
а0= 1 - 30
2
-15 2
а1= 1 14 - 7 2
а2 = 1 6 - 3
а3 = 1
2
2
1 = а5
а4 = 1
Для обозначения цифр в записи числа используем символику: а0, а1, а2,
а3, а4, а5.
Отсюда: 6310 = 1111112 (а5 а4 а3 а2 а1 а0)

20.

Перевести число 31510 в 8 с.с. и 16 с.с.
- 315 8 8
24 - 39
- 75 32 4
72 7
3
- 315 16 16
16 -19
16 1
155
144 3
11
Отсюда следует: 31510 = 4738 = 13В16

21. Перевод дробных чисел из 10 с.с. В любую другую

ПЕРЕВОД ДРОБНЫХ ЧИСЕЛ ИЗ
10 С.С. В ЛЮБУЮ ДРУГУЮ

22. Правила перевода

ПРАВИЛА ПЕРЕВОДА
1.
2.
3.
Последовательно умножать данное число на
основание новой системы до тех пор, пока
дробная часть произведения не станет равной
нулю или не будет достигнута требуемая точность
представления числа в новой системе
счисления.
Запись получившегося числа осуществляется
сверху вниз.
Цифрами числа будут являться полученные
целые части произведений.

23. Пример

ПРИМЕР
Перевести десятичную дробь 0,1875 10 в
2 с.с., 8 с.с., 16 с.с.
0 1875
*
2
0 3750
*
2
0 7500
*
2
1 5000
*
2
0 1875
*
8
1 5000
*
8
0 1875
*
16
3 0000
4 0000
1 0000
Отсюда следует:
0,187510 = 0,00112= 0,148 = 0,316 .

24.

Перевод смешанных чисел, содержащих
целую и дробную части из десятичной
системы
в
любую
другую
систему
осуществляется в два этапа. Целая и дробная
части исходного числа переводятся отдельно
по соответствующим алгоритмам. В итоговой
записи числа в новой системе счисления
целая часть отделяется от дробной запятой.

25. Перевести числа в 2 с.с., 8 с.с., 16 с.с.

ПЕРЕВЕСТИ ЧИСЛА В 2 С.С., 8 С.С., 16 С.С.
7510
12410
4710
0,4510
35,23410

26. Перевод целых чисел из любой с.с. В 10 с.с.

ПЕРЕВОД ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ИЗ
ЛЮБОЙ С.С.
В 10 С.С.

27. Правила перевода

ПРАВИЛА ПЕРЕВОДА
Обратное преобразование чисел из любой
системы счисления в десятичную систему
осуществляется с помощью выражения вида:
0
1
2
ХS = A0S + A1S + A2S + …
где ХS – число в S-й системе счисления,
S – основание системы, А – цифра числа.

28. Перевести в десятичную систему счисления числа 1011012, 2758, 15FC16, 101.112.

ПЕРЕВЕСТИ В ДЕСЯТИЧНУЮ СИСТЕМУ
СЧИСЛЕНИЯ ЧИСЛА 1011012, 2758, 15FC16,
101.112.
54 3 2 1 0
101101 2=1*25+0*24+1*23+1*22+
+0*21+1*20 =
=1*32+0*16+1*8+1*4+0*2+1*1
= 32+0+8+4+0+1=4510

29.

2 1 0 -1 -2
101.11 2=1*22+0*21+1*20+1*2-1
+1*2-2 =
=1*4+0*2+1*1+1*0.5+1*0.25 =
4+0+1+0.5+0.25=5.7510

30.

210
2758
2
1
0
=2*8 +7*8 +5*8 =
=2*64+7*8+5*1 =
128+56+5= 18910

31.

3 21 0
15FC 16 =1*163+5*162+15*161+
+12*160 =
=1*4096+5*256+15*16+12*1
= 4096+1280+240+12=562810

32. Перевести числа в 10 с.с.

ПЕРЕВЕСТИ ЧИСЛА В 10 С.С.
11112
1101,1012
278
1038
А716

33. Домашнее задание

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
Двоичная
Восьмеричная
Десятичная
Шестнадцатеричная
101010
127
269
9В
Двоичная
Восьмеричная
Десятичная
Шестнадцатеричная
0,101
0,6
0,125
0,4

34. Арифметика в позиционных системах счисления

АРИФМЕТИКА В
ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМАХ
СЧИСЛЕНИЯ

35. Сложение в 2 с.с.

СЛОЖЕНИЕ В 2 С.С.
+
0
1
0
0
1
1
1
10
Переполнение разряда наступает тогда,
когда величина числа в нем становится
равной или большей основания с.с.

36. Пример

ПРИМЕР
1102+112
11112+1102
11112+1112+112
10001101,12+111011,112

37. Сложение в 8 с.с.

СЛОЖЕНИЕ В 8 С.С.
+
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
1
2
3
4
5
6
7
1
1
2
3
4
5
6
7
10
2
2
3
4
5
6
7
10
11
3
3
4
5
6
7
10
11
12
4
4
5
6
7
10
11
12
13
5
5
6
7
10
11
12
13
14
6
6
7
10
11
12
13
14
15
7
7
10
11
12
13
14
15
16

38. Пример

ПРИМЕР
178+68
378+258
178+78+38
215,48+73,68

39.

СЛОЖЕНИЕ В 16 С.С.

40.

+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
2
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
3
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
4
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
5
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
6
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
7
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
8
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
9
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
A
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
B
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
C
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
D
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
E
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
1D
F
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
1D
1E

41. Примеры

ПРИМЕРЫ
3F16+616
9C16+7816
F16+716+316
8D,816+3B,C16

42. Вычитание

ВЫЧИТАНИЕ
При выполнении операции вычитания всегда из
большего по абсолютной величине числа
вычитается меньшее и ставится
соответствующий знак

43. Примеры

ПРИМЕРЫ
101002-1112
100,12-10,112
100102-111,12
1110,112-100012
108-18
311,28-73,68
10016-116
D9,416-3В,С16

44. Умножение в 2 с.с.

УМНОЖЕНИЕ В 2 С.С.
0
1
0
0
0
1
0
1

45. Примеры

ПРИМЕРЫ
101*110
11001*1101
1110011*110011
11001,01*11,01

46. Умножение в 8 с.с.

УМНОЖЕНИЕ В 8 С.С.
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
2
0
2
4
6
10
12
14
16
3
0
3
6
11
14
17
22
25
4
0
4
10
14
20
24
30
34
5
0
5
12
17
24
31
36
43
6
0
6
14
22
30
36
44
52
7
0
7
16
25
34
43
52
61

47. Примеры

ПРИМЕРЫ
58*68
678*238
1638*638

48. Деление

ДЕЛЕНИЕ
Операция деления выполняется по тем же
правилам, как и деление углом в 10 с.с.

49. примеры

ПРИМЕРЫ
111102:1102
1000112:11102
10110111010012:11100112
368:68
748:248
133518:1638