лекция 13'

1.

Московский государственный
медико-стоматологический университет им. А.И.
Евдокимова
Функции
нескольких
Название
переменных
лекции
• ЭФ МАТЕМАТИКА

2.

Производная по направлению.
Градиент и его свойства. Применение
функций многих переменных в
экономике

3.

Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой
окрестности точки М(х,у).
l – некоторое направление, задаваемое единичным
вектором
где
т.к.

4.

cosα, cosβ – косинусы углов, образованных данным
вектором с осями координат. Они называются
направляющими косинусами.
При перемещении в направлении l точки М(х,у) в
точку
Функция z получит приращение
которое называется приращением функции
данном направлении l.
z в

5.

Если
то

6.

7.

Производной по направлению
функции двух переменных z=f(x,y)
называется предел отношения
приращения функции в этом
направлении к величине перемещения
Δl при

8.

Производная по направлению характеризует
скорость изменения функции в направлении l.
Рассмотренные ранее производные
есть производные по направлениям, параллельным
осям абсцисс и ординат, соответственно.
Покажем, что

9.

Делим обе части на Δl и переходим к пределу:

10.

Градиентом функции двух переменных
z=f(x,y) называется вектор с
координатами

11.

Рассмотрим скалярное произведение
Скалярное произведение в координатах имеет
вид:
Поскольку

12.

Тогда

13.

Производная по направлению есть скалярное
произведение градиента и единичного
вектора, задающего данное направление.
Поскольку скалярное произведение максимально,
если вектора одинаково направлены, то
Градиент функции в данной точке
характеризует направление максимальной
скорости изменения функции в данной
точке.

14.

Если задана функция трех переменных f(x,y,z), то
градиент будет являться трехмерным вектором
с компонентами:
Или

15.

Пусть задана дифференцируемая
функция z=f(x,y) и пусть в точке
М(х0,у0) величина градиента
отлична от нуля. Тогда градиент
перпендикулярен линии уровня,
проходящей через данную точку.

16.

Применение функций в экономике
Функции находят широкое применение в экономической
теории.
Спектр используемых функций весьма широк от
простейших линейных
до рекуррентных соотношений,
связывающих состояния различных объектов в разные
периоды времени.
Наиболее часто в экономике используются следующие
функции:

17.

1. Функция полезности (функция предпочтений) – в широком
смысле полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия
от уровня (интенсивности) этого действия.
2. Производственная функция – зависимость результата
производственной деятельности от обусловивших его факторов.
3. Функция выпуска (частный вид производственной функции)
– зависимость объема производства от наличия или потребления
ресурсов.

18.

4. Функция издержек (частный вид производственной
функции) – зависимость издержек производства от объема
продукции.
5. Функции спроса, потребления и предложения –
зависимость объема спроса, потребления или предложения
на отдельные товары или услуги от различных факторов.
Экономические явления и процессы обусловливаются
действием различных факторов, следовательно, для
исследования таких процессов используют функции
нескольких переменных.

19.

Например:
- мультипликативные функции позволяют представить
зависимую переменную в виде произведения факторных
переменных;
- сепарабельные функции позволяют выделить влияние
различных
факторных
переменных
на
зависимую
переменную.
Одним из методов определения функциональных
зависимостей в экономике является анализ статистических
данных и экономических явлений в производственной и
непроизводственной сфере.

20.

Задача. Если известны постоянные издержки F (не
зависящие от числа единиц произведенной продукции),
переменные издержки V (пропорциональные объему
продукции х) за каждую единицу продукции и цена единицы
продукции R, то объем продукции х при котором прибыль
равна
нулю
(точка
безубыточности)
определяется
следующим образом:
1. Составляется функция издержек производства
С ( x) F V x
2. Совокупный доход (выручка от реализации) продукции
K ( x) R x
3. Составляется функция прибыли
P( x) K ( x) C ( x) R x C ( x)

21.

4. Точка безубыточности – прибыль равна нулю
P( x) R x C ( x) 0
Следовательно объем производства равен
C ( x)
x
R
Если известна (или задана) прибыль предприятия – S,
P( x) R x C ( x) S
то объем производства при известной или заданной
прибыли равен
S C ( x)
x
R

22.

Задача. Затраты на производство продукции выражаются
уравнением y k x b где х – число месяцев.
1
1
Доход от реализации продукции выражается уравнением.
y k2 x b2
Определить начиная с какого времени производство будет
рентабельным.
Решение.
Производство считается рентабельным если затраты
равны доходу.
y k1 x b1
y k2 x b2