Мат.стат практика №11

1.

Основы математической
статистики
Практическое занятие №11
Тема 1. Однофакторный дисперсионный анализ

2.

Основы математической статистики
Практическое занятие №11
Однофакторный дисперсионный анализ исследует воздействие на
некоторую нормально распределенную величину одного фактора. Для этого
вся совокупность наблюдений должна быть разделена на группы с разными
градациями изучаемого фактора.
Например, можно исследовать влияние визуально оцениваемого
метасоматического изменения на состав и свойства горных пород, разделив
пробы на группы: 1) с отсутствием видимых изменений; 2) слабо
измененные; 3) сильно измененные. Можно оценить влияние на состав
осадочной породы ее положения в стратиграфическом разрезе, предположив
изменение условий накопления осадка в течение некоторого периода
времени, или исследовать влияние минерального состава или состава
вмещающих пород на технологические параметры руд.
2

3.

Основы математической статистики
Практическое занятие №11
Дисперсионный анализ должен ответить на вопрос: существует ли
влияние изучаемого фактора на изменчивость исследуемых свойств объекта?
Положительный ответ на этот вопрос формулируется как альтернатива
нулевой гипотезе о равенстве средних значений всех выделенных групп:
H0: x1 x2 ... xk . Нулевая гипотеза отвергается, если хотя бы одно из
средних отличается от других.
Процедура однофакторного дисперсионного анализа заключается в
вычислении и сравнении изменчивости обусловленной исследуемым
фактором и некоторой остаточной изменчивости, считающейся случайной.
Группирование исследуемого свойства по градациям фактора позволяет
рассматривать
межгрупповую
изменчивость
как
факториальную,
внутригрупповую как случайную.
3
а

4.

Основы математической статистики
Практическое занятие №11
Пусть имеется ряд наблюдений:
x1,1 x1,2 ... x1, n x2 ,1 x2 ,2 ... x2 , n ... xk ,1 xk ,2 ... xk , n
1
2
k
где xi , j - наблюдение, входящее в i-ю группу (всего k групп) под j-м
номером, ni - количество наблюдений в i-й группе. Общее количество
k
наблюдений будет равно сумме наблюдений во всех группах: N ni
i 1
Общая
изменчивость
ряда
может
k
быть
рассчитана
как
сумма
ni
центрированных квадратов: SSo ( xi , j x ) 2
i 1 j 1
Внутригрупповая изменчивость рассчитывается путем объединения сумм
центрированных квадратов групп, где центрирование производится по
k
ni
групповым средним: SSV ( xi , j xi ) 2
i 1 j 1
4

5.

Основы математической статистики
Практическое занятие №11
Межгрупповая изменчивость может быть рассчитана как разность
между общей и внутригрупповой изменчивостью: SS M SSO SSV
Для получения сравнимых оценок изменчивости центрированные
суммы квадратов делятся на число степеней свободы. Для общей
изменчивости
число
степеней
свободы
равно
общему
количеству
наблюдений без одного (N-1); для внутригрупповой изменчивости - общему
количеству наблюдений без k (N-k), где k - число групп; для межгрупповой
изменчивости число степеней свободы равно числу групп без одной (k-1).
Тогда соответствующие оценки дисперсии будут равны:
SO2 SSO / ( N 1)
SV2 SSV / ( N k )
2
SM
SS M / ( k 1)
5

6.

Основы математической статистики
Практическое занятие №11
Теперь сравним межгрупповую и внутригрупповую изменчивость,
рассчитав критерий Фишера: F S M2 / SV2
Если F<1, то предположение о существенности исследуемого фактора
изменчивости сразу теряет смысл. При F>1 находим Fк рит. для заданного
уровня значимости , k-1 (числитель) и N-k (знаменатель) степеней
свободы. При F Fк рит. нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативы о
существенном влиянии исследованного фактора.
В простом варианте однофакторный дисперсионный анализ можно
использовать для сравнения двух выборок.
6