АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ_УРАВНЕНИЯ_ВЫСШИХ_СТЕПЕНЕЙ

1.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ
Подготовил: студент 2 курса 2 группы очной формы обучения
Плужников Кирилл Дмитриевич
направление подготовки 44.03.05 Педагогическое образование
(с двумя профилями подготовки),
профили подготовки Математика.
Информатика и информационные технологии в образовании

2.

Актуальность проекта
Алгебраические уравнения высших степеней являются
важным объектом исследования в алгебре и математическом
анализе. Понимание их свойств и методов решения
способствует развитию этих областей.
Уравнения высших степеней встречаются при решении задач
в физике , инженерии и экономике.
Совершенствование численных методов решения уравнений,
особенно с использованием компьютерных алгоритмов,
актуально для вычислительной математики.

3.

Цели и задачи проекта
Цель работы: Изучить методы решения алгебраических уравнений высших степеней и
проанализировать их эффективность.
Задачи:
1.Изучить исторические аспекты развития методов решения алгебраических
уравнений высших степеней.
2.Овладеть теоретическими основами методов решения алгебраических уравнений
высших степеней.
3.Применить практические методы решения алгебраических уравнений высших
степеней.

4.

Методы решения алгебраических уравнений
Метод Кардано для кубических уравнений.
Метод Феррари для уравнений 4-ой степени.
Решение двучленного уравнения 4-ой степени.
Решение возвратного уравнения 4-ой степени.
Численные методы решения:
Схема Горнера
Теорема Безу
Метод неопределённых коэффициентов
Теорема Виета

5.

Исторический аспект
В 16 веке итальянские математики, такие как Ферма и Тарталья, создали методы
решения кубических уравнений. Тарталья первым предложил общий способ решения
уравнений третьей степени. Позднее этот метод был улучшен Кардано, который
опубликовал его в своем труде «Ars Magna» в 1545 году.
Уравнение 4-й степени впервые появилось в «Книге оптики» Абу Али ибн ал-Хайсама
(965-1039).
Метод решения уравнений четвертой степени нашел в XVI в. Лудовико Феррари,
ученик Джероламо Кардано.

6.

Метод Кардано для кубических уравнений
Метод Кардано (или Кардано-Феррари) — это метод, предложенный итальянским
математиком Джероламо Кардано в 1545 году для нахождения корней кубических
уравнений.
Уравнение 3-й степени, или кубическое уравнение имеет вид
Формулы Кардано:

7.

Метод Феррари для уравнений 4-ой степени
В уравнеени 4-ой степени
избавися от
путём подстановки
Поэтому будем считать, что коэффициент при кубе неизвестного равен нулю:

8.

Идея Феррари заключалась в том, чтобы представить уравнение в
2
2
2
форме, A B , где левая часть – квадрат выражения, A x s, а
правая часть – квадрат линейного уравнения B от x, с коэффициентами,
зависящими от s. Затем необходимо решить два квадратных уравнения:
A B и A B . Это представление возможно лишь при специальном
a
выборе параметра s. Удобно взять s в виде t
2

9.

Двучленное уравнение 4-ой степени
Этот тип уравнения является самым простым и имеет следующий
вид
Ax 4 B 0
Этот вид уравнения решается с помощью формул сокращенного
умножения.
Ax 4 B 0
B
x4 0
A
B 2 B
B 2
x4 2
x 2
x 0
A
A
A
B 2
B 2
(x2
) 2
x 0
A
A
B
B 2
B
B
(x2 24 x
)( x 2 4 x
) 0
A
A
A
A
И находятся корни полученных квадратных трёхчленов.

10.

Возвратное уравнение 4-ой степени
Уравнение следующего вида называется возвратным уравнения
четвёртого порядка:
Ax 4 Bx3 Cx2 Bx A 0
Можно проверить, что x=0 не является корнем уравнения
A 0 B 0 C 0 B 0 A 0
Поэтому можно обе части данного уравнения разделить на x2
B A
2 0
x x
A
B
Ax 2 2 Bx C 0
x
x
1
1
A( x 2 2 ) B( x ) C 0
x
x
Ax 2 Bx C
Проведём
замену
1
1
1
x y ( x )2 y 2 x2 2 y 2 2
x
x
x
A( y 2 2) By C 0
Ay 2 By C 2 A 0
Таким образом, возвратное уравнение
сводится к квадратному уравнению.
переменных
четвертой
степени

11.

Схема Горнера
Применение
Поиск значения многочлена при заданном значении x
Вычисления по схеме Горнера представлены в виде следующей таблицы:
a0
a1
a2
…
a
b0 a0
b1 ab0 a1
b2 ab1 a2
…
an
r abn 1 a2

12.

Метод неопределенных коэффициентов
Суть метода неопределенных коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей,
на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих
сомножителей (также многочленов) определяется путем перемножения сомножителей
и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной

13.

Теорема Виета
Рассмотрим уравнение:
ax 3 bx 2 cx d 0,
b
x1 x2 x3 a
c
x
x
x
x
x
x
1 2
2 3
3 1
a
d
x1 x2 x3 a

14.

Теорема Безу
Этот метод заключается в последовательном делении, пока остаток не станет равен
нулю
Теорема, названная в честь французского математика XVIII века Этьена
n
n 1
n 2
Безу, гласит: если уравнение a0 x a1 x a 2 x ... a n 1 x a n 0 с
целыми коэффициентами и ненулевым свободным членом имеет целый
корень, то этот корень является делителем свободного члена. Также,
при делении многочлена n - й степени на двучлен x a , остаток равен
значению многочлена при x a .

15.

Спасибо за внимание!