Характеристики_дискретных_случайных_величин

1.

Характеристики дискретных
случайных величин

2.

Основные понятия
Если закон распределения неизвестен,
используют числа, которые описывают
случайную
величину
суммарно,
т.е.
числовые характеристики СВ.

3.

Математическое
ожидание ДСВ

4.

Основные понятия
Математическим
ожиданием
ДСВ
называют сумму произведений всех ее
возможных
значений
на
их
вероятности.

5.

Основные понятия
Замечание 1. Математическое ожидание
ДСВ есть неслучайная (постоянная) величина.
Пример 1. Найти математическое ожидание
случайной величины Х, зная закон ее
распределения:
xi
pi
2 3 5
0,3 0,1 0,6

6.

Пример
xi
pi
2 3 5
0,3 0,1 0,6

7.

Свойства математического ожидания
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины
равно самой постоянной:
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак
математического ожидания:
Замечание 4. Несколько случайных величин называют взаимно
независимыми, если законы распределения любого числа из них не
зависят от того, какие возможные значения приняли остальные
величины.
Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух
независимых случайных величин равно произведению их
математических ожиданий:
Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных
величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

8.

Следствие
• Следствие. Математическое ожидание произведения
нескольких взаимно независимых случайных величин
равно произведению их математических ожиданий.
• Математическое ожидание суммы нескольких случайных
величин равно сумме математических ожиданий
слагаемых.

9.

Пример
Независимые случайные величины X и Y
заданы следующими законами распределения
X 2
4
5
Y 7
9
P
0,1 0,3 0,6
P
0,8 0,2
Найти математическое ожидание случайной
величины XY
M(Y)=7∙0,8+9∙ 0,2 = 7,4

10.

Пример
Производится 3 выстрела с вероятностями
попадания в цель p1=0,4, p2=0,3, p3=0,6. Найти
математическое
ожидание
общего
числа
попаданий.
- Число попаданий при первом выстреле

11.

Задачи
1. Найти математическое ожидание суммы
числа очков, которые могут выпасть при
бросании двух игральных костей.

12.

Теорема
Математическое
ожидание
M(x)
числа
появлений события A в n независимых
испытаниях
равно
произведению
числа
испытаний на вероятность появления события в
каждом испытании:

13.

Пример
Вероятность попадания в цель при стрельбе из
орудия p=0,6. Найти математическое ожидание
общего
числа
попаданий,
если
будет
произведено 10 выстрелов.
M(X)=0,6*10=6

14.

Дисперсия ДСВ

15.

Основные понятия
Отклонением называют разность X-M(X) между
случайной величиной и ее математическим
ожиданием.
Теорема. Математическое ожидание отклонения
равно нулю

16.

Пример
Задан закон распределения ДСВ X
X
p
1
0,2
2
0,8
закон распределения отклонения:
X-M(X)
p
-0,8
0,2
0,2
0,8

17.

Основные понятия
o
Центрированной случайной величиной X называют
разность
между
случайной
величиной
и
ее
математическим ожиданием:
o
X X M (X )
Дисперсией
(рассеянием)
ДСВ
называют
математическое ожидание квадрата отклонения
случайной величины от ее математического ожидания

18.

Пример
Найти дисперсию случайной величины Х,
которая
задана
следующим
законом
распределения
Х
р
1
0,3
2
0,5
5
0,2
закон распределения квадрата отклонения
[X-M(X)]2
p
1,69
0,3
0,09
0,5
7,29
0,2

19.

Основные понятия
Теорема. Дисперсия равна разности между
математическим ожиданием квадрата случайной
величины X и квадратом ее математического ожидания

20.

Пример
Найти дисперсию случайной величины X,
которая
задана
следующим
законом
распределения
Х
р
2
0,1
3
0,6
5
0,3
закон распределения случайной величины X2
Х2
р
4
0,1
9
0,6
25
0,3

21.

Свойства дисперсии
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за
знак дисперсии, возводя его в квадрат:
Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных
величин равна сумме дисперсий этих величин:
Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных
величин равна сумме их дисперсий:

22.

Следствие
Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно
независимых случайных величин равна сумме дисперсий
этих величин.
Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и
случайной равна дисперсии случайной величины.

23.

Теорема
Дисперсия числа появлений события А в n
независимых испытаниях, в каждом из которых
вероятность p появления события постоянна,
равна произведению числа испытаний на
вероятности появления и непоявления события в
одном испытании:

24.

Пример
Производятся 10 независимых испытаний,
вероятность появления каждого события равна
0,6. Найти дисперсию случайной величины X —
числа появлений события в этих испытаниях.
N=10, p=0,6 q=0,4

25.

Среднее
квадратическое
отклонение

26.

Основные понятия
Средним квадратическим отклонением случайной
величины называют квадратный корень из дисперсии

27.

Пример
Случайная величина
распределения.
X
p
2
0,1
X
задана
3
0,4
10
0,5
законом
Найти среднее квадратическое отклонение

28.

Теорема
Среднее квадратическое отклонение суммы
конечного
числа
взаимно
независимых
случайных величин равно квадратному корню из
суммы квадратов средних квадратических
отклонений этих величин