Случайные величины и их числовые характеристики. Законы распределения дискретных случайных величин (ДСВ)

1.

MATH
Направление подготовки
31.05.02 Педиатрия (врач педиатр)
Учебный План утвержден решениями Ученого совета НГМУ
Протокол №3 от 17.04.2018 г.:
Учебная дисциплина
Б1.Б.12 МАТЕМАТИКА
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

2.

LECTURES
ЛЕКЦИОННОЕ ЗАНЯТИЕ
Тема:
Случайные величины и их числовые
характеристики.
Основные законы распределения дискретных
случайных величин (ДСВ).
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

3.

MATH
МАТЕМАТИКА
Рабочая программа дисциплины
(лекционные занятия)
Раздел 1. Теория вероятностей
8 час
1
Тема-1.1 Введение в теорию вероятностей. Логические операции над
множествами. Элементы комбинаторики. Вероятность события - определения,
основные свойства и формулы вычисления.
2 час
2
Тема-1.2 Алгебра событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Формула полной вероятности и формула Байеса. Формула Бернулли и формула
Пуассона.
2 час
3
Тема-1.3 Случайные величины и их числовые характеристики. Основные законы
2 час
распределения дискретных случайных величин.
4
Тема-1.4 Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики.
Основные законы распределения непрерывных случайных величин.
Правило трех сигм.
2час
Раздел 2.Математическая статистика
4 час
5
Тема-2.1 Основные понятия математической статистики.
Статистические оценки параметров распределения.
2 час
6
Тема-2.2 Основные понятия теории статистических гипотез. Проверка
статистических гипотез. Основы теории корреляции.
2 час
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

4.

LECTURES
Тема - 1.3
План лекционного занятия
(лекционное занятие)
1
Виды случайных величин.
20 мин
2
Распределение дискретной случайной величины.
20 мин
3
Функция распределения ДСВ.
25мин
4
Числовые характеристики ДСВ
25 мин
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

5.

LECTURES
1. Виды случайных величин.
Одним из важнейших понятий в теории
вероятностей является понятие случайной величины.
Величина называется случайной, если в
результате опыта она может принимать любые
заранее неизвестные значения.
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

6.

LECTURES
1. Виды случайных величин.
Одним из важнейших понятий в теории
вероятностей является понятие случайной величины.
Величина называется случайной, если в
результате опыта она может принимать любые
заранее неизвестные значения.
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (СВ)
ДИСКРЕТНЫЕ
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
(ДСВ)
НЕПРЕРЫВНЫЕ
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
(НСВ)
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

7.

LECTURES
1. Виды случайных величин.
Дискретные случайные величины
Дискретная случайная величина (ДСВ) –
это случайная величина, которая принимает
отдельное изолированное, счетное множество
значений.
Пример. Число посетителей поликлиники в
течение дня.
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

8.

LECTURES
1. Виды случайных величин.
• Непрерывные случайные величины
Непрерывная случайная величина (НСВ) –
это случайная величина, принимающая любые
значения из некоторого промежутка.
Пример. Масса наугад выбранной таблетки
некоторого препарата является НСВ.
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

9.

LECTURES
1. Виды случайных величин.
• Обозначения случайных величин и их значений
Случайные величины обозначают заглавными
буквами латинского алфавита: X, Y, Z и т.д.
Значения случайных величин обозначают
соответствующими строчными буквами: x, y, z
и т. д.
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

10.

LECTURES
1. Виды случайных величин.
• Обозначения случайных величин и их значений
Случайные величины обозначают заглавными
буквами латинского алфавита: X, Y, Z и т.д.
Значения случайных величин обозначают
соответствующими строчными буквами: x, y, z
и т. д.
Пример. Если случайная величина X имеет три
возможных значения, то они могут быть
обозначены как x1, x2, x3.
Пример записи.
X: x1, x2, x3.
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

11.

LECTURES
Тема - 1.3
План лекционного занятия
(лекционное занятие)
1
Виды случайных величин.
20 мин
2
Распределение дискретной случайной величины.
20 мин
3
Функция распределения ДСВ.
25 мин
4
Числовые характеристики ДСВ
25 мин
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

12.

LECTURES
2. Распределение ДСВ.
• Формы представления закона распределения ДСВ
Законом распределения ДСВ называют
соответствие между возможными значениями и
их вероятностями.
Закон распределения можно представить в виде
таблицы, формулы, графически.
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

13.

LECTURES
2. Распределение ДСВ.
• Табличная форма представления закона распределения ДСВ
При табличной форме представления закона
распределения ДСВ первая строка таблицы
содержит возможные значения, а вторая – их
вероятности:
Закон распределения можно представить в виде
таблицы, формулы, графически.
X
P
x1
p1
x2
p2
…
…
xn
pn
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

14.

LECTURES
2. Распределение ДСВ.
• Табличная форма представления закона распределения ДСВ
Приняв во внимание, что в одном испытании СВ
принимает одно и только одно возможное
значение, получаем, что события
X=x1 , X=x2 ,…, X=xn образуют полную группу,
следовательно сумма вероятностей этих событий,
то есть сумма вероятностей второй строки
таблицы, равна единице:
p1+p2+…+pn=1.
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

15.

LECTURES
2. Распределение ДСВ.
Пример.
Вероятности того, что студент
сдаст семестровый экзамен в сессию по
дисциплинам А и Б соответственно 0,7 и 0,9.
Составить закон распределения числа
семестровых экзаменов, которые сдаст студент.
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

16.

LECTURES
2. Распределение ДСВ.
• Графическая форма представления закона распределения ДСВ
p
p2
p1
pn
0
x1
x2
…
…
xn
x
Для графического
представления закона
распределения ДСВ в
прямоугольной системе
координат строят точки с
координатами (xi ;pi ), а затем
соединяют их отрезками
прямых.
Полученную фигуру
называют многоугольником
распределения.
Такая форма представления
является наиболее наглядной
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

17.

LECTURES
Тема - 1.3
План лекционного занятия
(лекционное занятие)
1
Виды случайных величин.
20 мин
2
Распределение дискретной случайной величины.
20 мин
3
Функция распределения ДСВ.
25 мин
4
Числовые характеристики ДСВ
25 мин
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

18.

LECTURES
3. Функция распределения ДСВ
Функцией распределения случайной
величины X называется функция
действительной переменной x,
определяемая равенством
F(x) = P(X < x)
Ее также называют интегральной
функцией распределения ДСВ и НСВ.
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

19.

LECTURES
3. Функция распределения ДСВ
Так как до значения x1 случайная величина X не
встречалась, то и вероятность события X< x1 равна
нулю.
Для всех значений x1< x ≤ x2 вероятность
события X<x совпадает с вероятностью значения
x1, т. е. p1.
Но при x>x2 СВ уже может принимать два
возможных значения x1 и x2 , поэтому вероятность
события X<x для x2<x x3 будет равна сумме
вероятностей p1+p2 и т.д.
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

20.

LECTURES
3. Функция распределения ДСВ
Если дискретные значения случайной величины
x1, x2 , … ,xn расположены в порядке возрастания,
то каждому значению xi этих величин ставится в
соответствие сумма вероятностей всех
предыдущих значений и вероятности pi
x1
p1
…
x2
x3
xn
p1+ p2 p1+ p2 + p3 … p1+ p2 + p3+ … + pn
Математика
Математика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Информатика
Информатика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

21.

LECTURES
3. Функция распределения ДСВ
Нанося на график возможные значения ДСВ X и
соответствующие суммы вероятностей, получаем
ступенчатую фигуру, которая и является графиком функции
распределения вероятностей.
y
p1+p2+…+pn
...
p1+p2
p1
0
x1
x2
…
xn
x
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

22.

LECTURES
3. Функция распределения ДСВ
• Свойства функции распределения случайной величины
Свойства функции распределения случайной
величины Х
1)0 F x 1;
2) x1 x2 F x1 F x2
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
Н
ГМ
МУУ
НГ

23.

LECTURES
Тема - 1.3
План лекционного занятия
(лекционное занятие)
1
Виды случайных величин.
20 мин
2
Распределение дискретной случайной величины.
20 мин
3
Функция распределения ДСВ.
25 мин
4
Числовые характеристики ДСВ
25 мин
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

24.

LECTURES
4. Числовые характеристики ДСВ
• Математическое ожидание ДСВ
Математическим ожиданием ДСВ Х
называется сумма произведений всех ее
значений на соответствующие вероятности.
n
M X x1 p1 x2 p2 ... xn pn xi pi
i 1
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

25.

LECTURES
4. Числовые характеристики ДСВ
• Математическое ожидание ДСВ
Вероятностный смысл математического
ожидания: Математическое ожидание
приближенно равно среднему арифметическому
наблюдаемых значений случайной величины.
(На числовой оси возможные значения расположены слева
и справа от математического ожидания, т. е. математическое
ожидание больше наименьшего и меньше наибольшего
возможных значений).
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

26.

LECTURES
4. Числовые характеристики ДСВ
• Математическое ожидание ДСВ
Пример. Математическое ожидание
Если за каждый выпавший орел мы получаем
150 руб., а при решке - сами отдаем 70 руб.,
сколько денег мы в среднем выигрываем на
каждом броске?
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

27.

LECTURES
4. Числовые характеристики ДСВ
• Свойства математического ожидания ДСВ
1. Математическое ожидание постоянной
величины равно самой постоянной
M (C) = C
2. Постоянный множитель можно выносить
за знак математического ожидания
M (C·X) = C ·M (X)
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

28.

LECTURES
4. Числовые характеристики ДСВ
• Свойства математического ожидания ДСВ
3. Математическое ожидание суммы конечного
числа случайных величин равно сумме их
математических ожиданий
M (X+Y) = M (X) + M (Y)
4. Математическое ожидание произведения
конечного числа независимых случайных величин
равно произведению их математических ожиданий.
M (X·Y) = M (X) · M (Y)
(Две случайные величины называются независимыми, если закон
распределения одной из них не зависит от того, какие возможные
значения приняла другая величина)
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

29.

LECTURES
4. Числовые характеристики ДСВ
• Дисперсия ДСВ
Дисперсией (рассеянием) ДСВ называется
математическое ожидание квадрата отклонения
СВ от ее математического ожидания
D (X) = M (X – M (X))2
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
Н
ГМ
МУУ
НГ

30.

LECTURES
4. Числовые характеристики ДСВ
• Свойства дисперсии ДСВ
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю
D (С) = 0
2. Постоянный множитель можно выносить за знак
дисперсии, возводя его в квадрат
D (С·Х) = С2 · D (X)
3. Дисперсия суммы конечного числа независимых
СВ равна сумме их дисперсий
D (X + Y) = D (X) + D (Y)
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

31.

LECTURES
4. Числовые характеристики ДСВ
• Теорема дисперсии ДСВ
Теорема. Дисперсия ДСВ равна разности
между математическим ожиданием квадрата
ДСВ X и квадратом ее математического
ожидания
D (X) = M (X2) – (M (X))2
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

32.

LECTURES
4. Числовые характеристики ДСВ
• Среднее квадратическое отклонение
Средним квадратическим отклонением
случайной величины X называется
арифметическое значение корня
квадратного из ее дисперсии
X
D X
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

33.

LECTURES
4. Числовые характеристики ДСВ
Пример. Вычислить математическое ожидание, дисперсию,
среднее квадратическое отклонение дискретной случайной
величины X, определяемой как количество студентов в наугад
выбранной группе, используя следующие данные:
X
P
8
0,2
9
0,1
10
0,3
11
0,2
12
0,2
M(X) = 8·0,2+ 9·0,1+ 10·0,3+ 11·0,2+ 12·0,2 = 1,6+0,9+3+2,2+2,4 = 10,1
D(X) = 82·0,2+92·0,1+102·0,3+112·0,2+ 22·0,2-10,12 = 103,9 – 102,01 = 1,89
X 1,89 1,37
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

34.

LECTURES
4. Числовые характеристики ДСВ
Замечание. Математическое ожидание и дисперсия числа
появлений события в независимых испытаниях
Если вероятность появления события А в каждом
испытании не зависит от исходов других испытаний, то
такие испытания являются независимыми. Пусть эти
вероятности одинаковы и равны p.
Тогда вероятность не наступления события А в
испытании
q=1-p.
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

35.

LECTURES
4. Числовые характеристики ДСВ
Теорема. Математическое ожидание числа появлений события
А в независимых испытаниях равно произведению числа
испытаний на вероятность появления события А в каждом
испытании:
M (X) = n · p
Теорема. Дисперсия числа появлений события А в
независимых испытаниях равна произведению числа испытаний
на вероятности появления и не появления события А в одном
испытании:
D (X) = n · p · q
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

36.

LECTURES
4. Числовые характеристики ДСВ
Пример. В пяти аптеках проверяется годовой баланс.
Вероятность правильного оформления баланса в каждой
аптеке равна 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию
правильно оформленных балансов.
Решение. По условию
n=5; p=0,7; q=(1-0,7) = 0,3;
M(X) = 5 · 0,7 = 3,5
D(X) = 5 · 0,7 · 0,3 = 1,05
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ

37.

MATH
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ
Информатика
Информатика
Физика
Физика
Доц. Постникова О.А.
Математика
Математика
КАФЕДРА
МАТЕМАТИКИ
НГМУ
НГМУ