Тригонометрические функции, их свойства и графики

1.

Графики тригонометрических функций и
их свойства
Функция у = sin x, ее свойства
Функция у = cos x
Преобразование графиков тригонометрических функций путем
параллельного переноса
Преобразование графиков тригонометрических функций путем
сжатия и расширения
Преобразование графиков тригонометрических функций путем
зеркального отражения относительно оси абсцисс
Построение графика функции гармонических колебаний
y=A sin(ωx+φ0)
Построение графика y=sin x с помощью числового круга
1

2.

Функция y=sin x и ее свойства
y
y=sin x
1
-2π
-3π/2
-π
-π/2
0
π/2
π
3π/2
2π
x
-1
Графиком функции y=sin x является синусоида
Свойства функции:
1. D(y) =R
2. Периодическая (Т=2p)
3. Нечетная (sin(-x)=-sin x)
4. Нули функции:
у=0, sin x=0 при х = pn, n Z
2

3.

y
1
-2π
-3π/2
-π
-π/2
0
y=sin x
π/2
π
3π/2
2π
x
-1
5. Промежутки знакопостоянства:
У>0 при х (0+2pn; p+2pn), n Z
У<0 при x (-p+2pn; 0+2pn), n Z
y
y=sin x
1
-2π
-3π/2
-π
-π/2
0
π/2
π
3π/2
2π
x
-1
6. Промежутки монотонности:
функция возрастает на промежутках
вида: [-p/2+2pn; p/2+2pn], n Z
функция убывает на промежутках
вида: [p/2+2pn; 3p/2+2pn], n Z
3

4.

y
xмах
-2π
-3π/2
1
-π
-π/2
0
y=sin x
xмах
π/2
π
3π/2
2π
x
-1
xmin
xmin
7. Точки экстремума:
Хмах= p/2 +2pn, n Z
Хмin= -p/2 +2pn, n Z
4

5.

Функция y=cos x
y
y=cos x
1
-3π/2
-π
-π/2
0
π/2
π
3π/2
x
-1
Графиком функции у = cos x является косинусоида
sin(x+p/2)=cos x
5

6.

Свойства функции y=cos x
1.
2.
3.
4.
D(y) =R
Периодическая Т=2p
Четная
cos(-x)=cos x
Нули функции:
у=0, cos x=0 при х = 1/2pn, n Z
5. Промежутки знакопостоянства:
У>0 при х (-p/2+2pn; p/2+2pn), n Z
У<0 при x (p/2+2pn; 3p/2+2pn), n Z
6. Промежутки монотонности:
функция возрастает на промежутках вида:
[p+2pn; 2p+2pn], n Z
функция убывает на промежутках вида:
[0+2pn; p+2pn], n Z
7. Точки экстремума:
Хмах= 0 +2pn, n Z
Хмin = p +2pn, n Z
6

7.

Преобразование графиков
тригонометрических функций путем
параллельного переноса
График функции у = f (x+в) получается из графика функции
у = f(x) параллельным переносом на (-в) единиц вдоль оси абсцисс
График функции у = f (x)+а получается из графика функции у = f(x)
параллельным переносом на (а) единиц вдоль оси ординат
7

8.

Построение графика функции y=sin(x+π/4) путем перемещения
графика y=sin(x) влево по оси абсцисс на расстояние π/4
y
x
y=siny=sin
(x+ π/4)
1
-2π
-3π/2
-π
π/2
-π/2
-π/4
0
π
3π/2
2π
x
-1
8

9.

Построение графика функции y=sinx+π путем параллельного
переноса графика y=sin(x) на расстояние π единиц вдоль оси ординат
y
4
y=sin x+π
3,14
3
2
y=sin x
1
-2π
-3π/2
-π
-π/2
0
π/2
π
3π/2
2π
x
-1
9

10.

Преобразование графиков
тригонометрических функций путем
сжатия и растяжения
График функции у =k f (x) получается из графика функции у = f(x)
путем его растяжения в k раз (при k>1) вдоль оси ординат
График функции у = k f (x) получается из графика функции у = f(x)
путем его сжатия в k раз (при 0<k<1) вдоль оси ординат
10

11.

График функции у =3sin x получается из графика функции
у = sin x путем его растяжения в 3 раза вдоль оси ординат
y
3
y=3sin x
y=sin x
1
-2π
-3π/2
-π
π/2
0
-π/2
π
3π/2
2π
x
-1
-3
11

12.

График функции у =0.5 sin x получается из графика функции
у = sin x путем его сжатия в 2 раза вдоль оси ординат
y
y=sin x
y=0.5 sin x
1
0.5
-2π
-3π/2
-π
π/2
-π/2
0
π
3π/2
2π
x
-0.5
-1
12

13.

Преобразование графиков
тригонометрических функций путем
сжатия и растяжения
График функции у = f (kx) получается из графика функции
у = f(x) путем его сжатия в k раз (при k>1) вдоль оси абсцисс
График функции у = f (kx) получается из графика функции
у = f(x) путем его растяжения в k раз (при 0<k<1) вдоль оси абсцисс
13

14.

График функции у = cos (0.5x) получается из графика функции у = cos x
путем его растяжения в 2 раза (0<k<1) вдоль оси абсцисс
y
T=2π
y=cos x
1
y=cos 0.5 x
-2π
-3π/2
-π
-π/2
0
π/2
π
3π/2
2π
x
-1
T=4π
Видно, что период (T) функции увеличился в 2 раза, т.к. T = 2 π/ω,
где ω – коэффициент при переменной x (частота колебаний)
14

15.

График функции у = cos 2x получается из графика функции
путем его сжатия в 2 раза (k>1) вдоль оси абсцисс
у = cos x
y
T = 2 πT = 2 π
-2π
-3π/2
-π
-π/2
0
π/2
y=cos x
y=cos 2 x
1
π
3π/2
2π
x
-1
Видно, что период (T) функции уменьшился в 2 раза, т.к. T = 2 π/ω,
где ω – коэффициент при переменной x (частота колебаний)
15

16.

Преобразование графиков
тригонометрических функций путем
зеркального отражения относительно
оси абсцисс
Графики функций у = -f (kx) и у=-k f(x) получаются из графиков
функций у = f(kx) и y= k f(x) соответственно путем их зеркального
отображения относительно оси абсцисс
синус – функция нечетная, поэтому sin(-kx) = - sin (kx)
косинус –функция четная, значит cos(-kx) = cos(kx)
16

17.

Графики функций y = -3sin x получается из графика функции y = 3sin x
путем ее зеркального отображения относительно оси абсцисс
y
3
y=-3sin x
1
-2π
-3π/2
-π
-π/2
π/2
0
π
3π/2
2π
x
-1
y=3sin x
-3
17

18.

Графики функций y = -2cos x получается из графика функции
y = 2cos x путем ее зеркального отображения относительно оси абсцисс
y
y=2cos x
1
-2π
-3π/2
-π
-π/2
0
π/2
π
3π/2
x
2π
-1
y=-2cos x
18

19.

Построение графика функции гармонических колебаний
y=A sin(ωx+φ0)
Для примера строим график функции y=3 sin (2x+π/3).
Здесь амплитуда колебаний А равняется 3 единицам,
круговая частота колебаний ω равна 2,
а начальная фаза колебаний φ0 равна π/3, т.е.:
A=3, ω=2 и φ0= π/3. Период колебаний T=2π/ω.
19

20.

Последовательность построения графика функции y=3 sin (2x+π/3)
y
3
2
y=3 sin (2x+ π/3)
x
y=siny=sin
(x+ π/3)
y=sin (2x+ π/3)
1
-2π
-3π/2
-π
π/2
-π/2
-π/3
0
π
3π/2
2π
x
-1
-2
-3
Строим исходный график функции y= sin x
Используя параллельный перенос сдвигаем график функции y= sin x
влево по оси абсцисс на расстояние π/3
Сжимаем график функции y= sin (x+π/3) в 2 раза по оси абсцисс
Растягиваем график функции y= sin (2x+π/3) в 3 раза по оси ординат
20

21.

Построение графика y=sin x с помощью числового круга
y
2π/3
π/2
π/3
3π/4
π/4
π/6
5π/6
II
π
I
0
2π
IV
III
7π/6
0
7π/6
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
5π/4
4π/3
3π/2
5π/3
7π/4
11π/6
2π
π
x
11π/6
7π/4
5π/4
5π/3
4π/3
3π/2
21