Komplexné čísla. Polynómy. Algebraická rovnica. Rozklad polynómu na súčin koreňových činiteľov

1. Komplexné čísla. Polynómy. Algebraická rovnica. Rozklad polynómu na súčin koreňových činiteľov.

2. Komplexné čísla

Číslo z a bi
kde a, b R
2
i je riešenie kvadratickej rovnice x 1 0
2
i 1
nazývame komplexné číslo.
i – imaginárna jednotka
a – reálna časť komplexného čísla z
b – imaginárna časť komplexného čísla z

3. Polynómy

Nech n je nezáporné celé číslo a a0 , a1 , a2 ,..., an
nech sú komplexné čísla. Funkciu
P x a0 x a1 x
n
n 1
a2 x
n 2
... an 1 x an
x C
nazývame polynómom.
a0 , a1 , a2 ,..., an - koeficienty polynómu P x
Ak a0 0 ,tak n - stupeň polynómu.

4. Snímka 4

Nech P x a Q x sú dva polynómy stupňov
n a m. Nech n m . Potom existujú také
jednoznačne určené polynómy R x a Z x ,
že platí :
• P x Q x R x Z x
• Z x je polynóm stupňa menšieho ako m
R x - čiastočný podiel polynómov P x a Q x
Z x - zvyšok

5. Algebraické rovnice

algebraická rovnica n-tého stupňa
Pn x 0
Pn x - polynóm n-tého stupňa
Riešením alebo koreňom algebraickej
rovnice je každé také číslo C ,
pre ktoré platí Pn 0 .

6. Bézoutova veta

Číslo je koreňom algebraickej rovnice
Pn x 0 vtedy a len vtedy, ak polynóm
x delí polynóm Pn x bezo zvyšku,
t.j. ak platí
Pn x x Pn 1 x .
x - koreňový činiteľ polynómu Pn x

7. Fundamentálna veta algebry

Každá algebraická rovnica stupňa n 1 má
v množine komplexných čísel aspoň
jeden koreň.
Číslo sa nazýva k – násobný koreň
algebraickej rovnice Pn x 0 , ak platí:
k
Pn x x Pn k x .

8. Rozklad polynómu na súčin koreňových činiteľov

Nech 1 , 2 ,..., r sú všetky navzájom rôzne
korene algebraickej rovnice Pn x 0 .
Nech 1 je k1 - násobný, 2 je k2 - násobný, ...,
r je kr - násobný koreň. Potom platí
k1 k2 ... kr n
Pn x a0 x 1 x 2 ... x r .
k1
k2
kr

9. Algebraické rovnice s reálnymi koeficientmi

Nech Pn x 0 je algebraická rovnica stupňa
n 1 s reálnymi koeficientmi.
Ak komplexné číslo a bi je jej koreňom,
tak aj číslo a bi je jej koreňom.

10. Veta o racionálnych koreňoch algebraickej rovnice s celočíselnými koeficientmi.

n 1
Nech a0 x a1 x ... an 1 x an 0 je
algebraická rovnica stupňa n 1 s
celočíselnými koeficientmi.
n
p
Nech racionálne číslo , kde p a q sú
q
nesúdeliteľné čísla, je koreňom tejto rovnice.
Potom koeficient a0 je deliteľný číslom q a
koeficient a n je deliteľný číslom p.