Бейсызықты жүйелердің негізгі ұғымдары мен ерекшеліктері

1.

Қазақсан Республикасы Ғылым және Жоғарғы білім министрлігі
Қ.Жұбанов атындағы Ақтөбе өңірлік университеті
Техникалық факультет
«Мұнай-газ ісі» кафедрасы
«Бейсызықтық автоматты басқару жүйелері»
пәнінен
СОӨЖ
Тақырып: Бейсызықты жүйелердің негізгі
ұғымдары мен ерекшеліктері
Мамандығы: 6В07107
Орындағандар:
Дүйсенов Азамат
Сейткалиев Рамазан
Асанов Мағжан
Тобы: АжБк - 302
Тексерген: Калиева А.
Ақтөбе 2024

2.

Жоспары:
• Бейсызықты жүйелердің негізгі ұғымдары мен ерекшеліктері
• Бейсызықты жүйелердің негізгі ұғымдары
• Бейсызықты жүйелердің түрлері
• Бейсызықты жүйелердің математикалық моделдеуі
• Бейсызықты жүйелердің ерекшеліктері
• Бейсызықты жүйелерді басқарудың ерекшеліктері
• Бейсызықты жүйелердің қолданылу салалары
• Бейсызықты жүйелерді зерттеудің заманауи әдістері
• Бейсызықты жүйелерді басқарудың жаңа трендтері
• Қорытынды
• Пайдаланылған әдебиеттер

3.

Бейсызықты жүйелердің негізгі ұғымдары мен ерекшеліктері
Бейсызықты жүйелер — бұл математикалық модельдері сызықтық емес
теңдеулер арқылы сипатталатын жүйелер. Олардың негізгі
ерекшеліктері мен қасиеттері сызықтық жүйелерден айтарлықтай
ерекшеленеді. Бейсызықты жүйелерді зерттеу автоматты басқару
теориясында маңызды орын алады, өйткені көптеген нақты жүйелер
(мысалы, робототехника, химиялық процестер, биологиялық жүйелер)
бейсызықтық қасиеттерге ие.

4.

Бейсызықты жүйелердің негізгі ұғымдары
1.Бейсызықтықтың анықтамасы
Бейсызықты жүйе — бұл кіріс пен шығыс арасындағы байланыс сызықтық емес
функция арқылы сипатталатын жүйе. Математикалық тұрғыдан бейсызықты жүйелер
дифференциалдық теңдеулер, айырымдық теңдеулер немесе басқа математикалық
модельдер арқылы өрнектеледі. Мысалы:
мұнда f(x,u) — сызықтық емес функция.
Бейсызықтықтың ең қарапайым мысалдарына парабола (y=x2) немесе синусоидалы
функция (y=sin(x)) жатады. Нақты жүйелерде бейсызықтық тербелмелі процестерде,
температураны реттеуде, химиялық реакцияларда жиі кездеседі. Мысалы, химиялық
реакциялардың жылдамдығы концентрацияға сызықтық емес тәуелді болуы мүмкін.

5.

2.Бейсызықты жүйелердің түрлері
⚬ Стационарлы және стационарлы емес жүйелер: Стационарлы жүйелерде уақытқа
тәуелділік болмайды, ал стационарлы емес жүйелерде уақыт параметрі болады.
⚬ Стационарлы жүйелердің параметрлері уақыт өткен сайын өзгермейді, мысалы,
тұрақты температурада жұмыс істейтін жылыту жүйесі. Стационарлы емес жүйелерге
уақыт өткен сайын өзгеретін параметрлері бар жүйелер жатады, мысалы, ракетаның
ұшу динамикасы.
⚬ Автономды және автономды емес жүйелер: Автономды жүйелерде кіріс сигналы
болмайды, ал автономды емес жүйелерде сыртқы әсерлер ескеріледі.
⚬ Автономды жүйелерге мысал ретінде математикалық маятникті алуға болады, ал
автономды емес жүйелерге сыртқы күш әсер ететін механикалық жүйелер жатады.
⚬ Үздіксіз және дискретті жүйелер: Үздіксіз жүйелер уақыт бойынша үздіксіз өзгереді, ал
дискретті жүйелер уақыттың белгілі бір нүктелерінде ғана өзгереді.
⚬ Үздіксіз жүйелерге мысал ретінде электр қозғалтқышының жұмысын, ал дискретті
жүйелерге сандық басқару жүйелерін (мысалы, компьютерлік бағдарламалар) келтіруге
болады.

6.

3.Бейсызықты жүйелердің математикалық моделдеуі
Бейсызықты жүйелерді модельдеу үшін келесі әдістер қолданылады:
• Дифференциалдық теңдеулер: Мысалы, Лоренц аттракторы сияқты хаостық
жүйелер дифференциалдық теңдеулер арқылы сипатталады.
• мұнда σ,ρ,β — параметрлер.
• Фазалық кеңістік әдісі: Фазалық кеңістікте жүйенің барлық мүмкін күйлері бейнеленеді,
бұл жүйенің динамикасын түсінуге көмектеседі.
• Ляпунов функциялары: Ляпунов функциялары жүйенің тұрақтылығын зерттеу үшін
қолданылады.
• Жуықтау әдістері (мысалы, линеаризация): Линеаризация әдісі бейсызықты жүйені
сызықтық жүйеге жуықтау арқылы жеңілдетуге мүмкіндік береді.
• Мысалы, Тейлор қатары арқылы бейсызықты функцияны сызықтық функцияға
жуықтауға болады.

7.

Бейсызықты жүйелердің ерекшеліктері
1.Суперпозиция принципінің болмауы
• Сызықтық жүйелерде суперпозиция принципі орындалады, яғни жүйенің
реакциясы әрбір кіріс сигналына бөлек қарастырылып, қосыла алады.
Бейсызықты жүйелерде бұл принцип орындалмайды, сондықтан жүйені талдау
күрделірек болады.
• Мысалы, егер жүйеге екі түрлі кіріс сигналы берілсе, олардың әсері бөлек емес,
өзара әрекеттесуі мүмкін. Бұл жүйенің динамикасын болжауды қиындатады.
Мысалы, электронды схемаларда бейсызықтық элементтердің болуы
сигналдардың бұрмалануына әкелуі мүмкін.
2.Көптеген тепе-теңдік нүктелерінің болуы
• Бейсызықты жүйелерде бірнеше тепе-теңдік нүктелері болуы мүмкін. Олар
тұрақты, тұрақсыз немесе шалдықты түрде болуы мүмкін.
• Мысалы, маятниктің екі түрлі тепе-теңдік нүктесі бар: төменгі нүкте (тұрақты)
және жоғарғы нүкте (тұрақсыз). Бұл ерекшелік жүйенің басқаруын
күрделендіреді, өйткені әрбір тепе-теңдік нүктесінде жүйенің әрекеті әртүрлі
болады.

8.

3.Хаос пен периодтық емес әрекеттер
• Бейсызықты жүйелерде хаос құбылысы байқалуы мүмкін. Бұл жүйенің бастапқы шарттарға
өте сезімтал болуына әкеледі. Кішігірім өзгерістер үлкен нәтижелерге әкелуі мүмкін.
• Хаостық жүйелерге мысал ретінде ауа райы моделін келтіруге болады, онда бастапқы
шарттардың шамалы өзгеруі нәтижені айтарлықтай өзгертеді. Хаос теориясы бойынша,
"құбылыстың қанат қағуы" эффектісі бейсызықты жүйелерде жиі кездеседі.
4.Тура және кері байланыс
• Бейсызықты жүйелерде тура және кері байланыс арқылы жүйенің динамикасын басқаруға
болады. Бұл әдістер жүйенің тұрақтылығын арттыруға және оңтайлы басқаруды
қамтамасыз етуге мүмкіндік береді.
• Мысалы, роботтың қозғалысын басқару үшін кері байланыс арқылы оның орнын дәлдеуге
болады. Кері байланыс арқылы жүйенің қателерін азайтуға болады.
5.Жуықтау әдістерінің қолданылуы
• Бейсызықты жүйелерді талдау үшін линеаризация сияқты жуықтау әдістері жиі
қолданылады. Бұл әдістер жүйені сызықтық жуықтау арқылы жеңілдетуге мүмкіндік береді.
Мысалы, Тейлор қатары арқылы бейсызықты функцияны сызықтық функцияға жуықтауға
болады. Бұл әдіс жүйенің жуықтау шешімдерін табуға мүмкіндік береді.

9.

Бейсызықты жүйелерді басқарудың ерекшеліктері
1.Тұрақтылықты талдау
• Бейсызықты жүйелердің тұрақтылығын талдау үшін Ляпунов функциялары
қолданылады. Бұл әдіс жүйенің тепе-теңдік нүктесінің тұрақтылығын анықтауға
мүмкіндік береді.
• Ляпунов функциясы жүйенің энергиясын сипаттайтын функция ретінде
қарастырылады. Егер ол уақыт өткен сайын азаятын болса, жүйе тұрақты болып
саналады. Мысалы, маятниктің энергиясын талдау арқылы оның тұрақтылығын
анықтауға болады.
2.Оңтайлы басқару
• Бейсызықты жүйелерді оңтайлы басқару үшін вариациялық есептеулер мен
оптималды басқару теориясы қолданылады. Бұл әдістер жүйенің мақсатты
функциясын минимизациялауға немесе максимизациялауға мүмкіндік береді.
• Мысалы, спутниктің орбитасын оңтайлы басқару үшін энергия шығынын
азайтуға бағытталған әдістер қолданылады. Оңтайлы басқарудың негізінде
Гамильтон-Якоби-Беллман теңдеуі жатады.

10.

Бейсызықты жүйелердің қолданылу салалары
1.Робототехника және автономды жүйелер
• Робототехникада бейсызықты жүйелер роботтың қозғалысын, тепе-теңдігін және
ортамен өзара әрекеттесуін басқару үшін қолданылады. Мысалы, дрондардың
ұшу динамикасы бейсызықты теңдеулер арқылы сипатталады. Автономды
көліктерде бейсызықты басқару жүйелері қозғалыстың қауіпсіздігін және дәлдігін
қамтамасыз етеді.
2.Энергетика және электр жүйелері
• Электр энергиясын өндіру, тарату және басқару жүйелері бейсызықты қасиеттерге
ие. Мысалы, электр желілеріндегі кернеу мен токтың өзгеруі бейсызықты
теңдеулер арқылы сипатталады. Бейсызықты басқару әдістері энергия
жүйелерінің тұрақтылығын арттыруға мүмкіндік береді.

11.

3.Биологиялық және медициналық жүйелер
• Биологиялық жүйелерде (мысалы, жүрек-қан тамырлары жүйесі, нейрондық
желілер) бейсызықты динамика жиі кездеседі. Медицинада бейсызықты
модельдер арқылы аурулардың дамуын болжау және емдеу әдістерін жетілдіру
мүмкін. Мысалы, диабет ауруы бар науқастардың қандағы қант деңгейін басқару
үшін бейсызықты алгоритмдер қолданылады.
4.Экономикалық жүйелер
• Экономикалық модельдерде бейсызықтық құбылыстар жиі кездеседі. Мысалы,
нарықтық бағаның өзгеруі, инфляция, инвестициялық стратегиялар бейсызықты
теңдеулер арқылы сипатталады. Бейсызықты модельдер экономикалық
болжауларды дәлдеуге мүмкіндік береді.
5.Экология және климаттық модельдер
• Экожүйелердегі популяция динамикасы, климаттың өзгеруі сияқты құбылыстар
бейсызықты теңдеулер арқылы модельденеді. Мысалы, ауа райының болжауы
үшін хаостық модельдер қолданылады.

12.

Бейсызықты жүйелерді зерттеудің заманауи әдістері
1.Машиналық оқыту және бейсызықты жүйелер
• Машиналық оқыту алгоритмдері бейсызықты жүйелерді талдау және басқару үшін
кеңінен қолданылады. Мысалы, нейрондық желілер арқылы бейсызықты
жүйелердің динамикасын болжауға болады. Бұл әдістер робототехникада,
медицинада және экономикада кеңінен қолданылады.
1.Хаос теориясы және бейсызықты жүйелер
• Хаос теориясы бейсызықты жүйелердің бастапқы шарттарға сезімталдығын
зерттейді. Бұл теория ауа райы болжауы, финанс нарықтарын талдау сияқты
салаларда қолданылады. Хаостық жүйелерді басқару үшін арнайы алгоритмдер
әзірленген.

13.

3.Фракталдық анализ
• Фракталдар — бұл бейсызықты жүйелерде жиі кездесетін геометриялық
нысандар. Фракталдық анализ арқылы жүйелердің күрделілігін және
өзгергіштігін зерттеуге болады. Мысалы, фракталдық анализ биологиялық
жүйелерді (мысалы, өсімдіктердің өсуі) зерттеуде қолданылады.
4.Бейсызықты басқарудың сандық әдістері
• Сандық әдістер бейсызықты теңдеулерді шешу үшін кеңінен қолданылады.
Мысалы, Эйлер әдісі, Рунге-Кутта әдісі сияқты сандық әдістер бейсызықты
жүйелердің динамикасын талдауға мүмкіндік береді. Бұл әдістер компьютерлік
бағдарламалар арқылы жүзеге асырылады.
5.Бейнелеу және визуализация
• Бейсызықты жүйелердің динамикасын түсіну үшін фазалық портреттер,
аттракторлар және басқа визуалды әдістер қолданылады. Мысалы, Лоренц
аттракторы бейсызықты жүйенің хаостық әрекетін көрсетеді. Визуализация
әдістері жүйенің қызметін жеңіл түсінуге мүмкіндік береді.

14.

Бейсызықты жүйелерді басқарудың жаңа трендтері
1.Ақылды басқару жүйелері
• Ақылды басқару жүйелері (Artificial Intelligence, AI) бейсызықты жүйелерді басқару үшін
кеңінен қолданылады. Мысалы, AI арқылы роботтың қозғалысын оңтайлы басқаруға
болады. Бұл әдістер өнеркәсіпте, медицинада және энергетикада қолданылады.
1.Адаптивті және робасты басқару
• Адаптивті басқару әдістері жүйенің параметрлері өзгерген кезде оны тұрақты ұстауға
мүмкіндік береді. Робасты басқару әдістері жүйенің сыртқы әсерлерге төзімділігін
арттырады. Мысалы, адаптивті басқару әдістері автономды көліктерде қолданылады.
1.Кванттық басқару жүйелері
• Кванттық технологиялардың дамуына байланысты бейсызықты жүйелерді басқарудың
жаңа әдістері әзірленуде. Кванттық басқару жүйелері жоғары дәлдік пен жылдамдықты
қамтамасыз етеді.
1.Жаһандық проблемаларды шешу
• Бейсызықты жүйелерді зерттеу арқылы климаттың өзгеруі, энергия тапшылығы сияқты
жаһандық проблемаларды шешуге болады. Мысалы, бейсызықты модельдер арқылы ау
райының өзгеруін болжауға болады.

15.

Қорытынды
Бейсызықты жүйелер — бұл күрделі және әртүрлі қасиеттерге ие жүйелер. Оларды
зерттеу және басқару автоматты басқару саласында маңызды мәселе болып
табылады. Бейсызықты жүйелердің негізгі ерекшеліктері — бұл суперпозиция
принципінің болмауы, көптеген тепе-теңдік нүктелерінің болуы, хаос құбылысы және
жуықтау әдістерінің қолданылуы. Бейсызықты жүйелерді басқару үшін тұрақтылықты
талдау, оңтайлы басқару және адаптивті басқару әдістері қолданылады.
Заманауи технологиялардың дамуына байланысты бейсызықты жүйелерді зерттеу
мен басқару әдістері де үздіксіз жетіліп келеді. Бұл тақырыпты тереңірек зерттеу
арқылы автоматты басқару жүйелерін жетілдіруге және олардың тиімділігін арттыруға
болады. Бейсызықты жүйелерді зерттеу арқылы нақты жүйелердің динамикасын
түсінуге және оларды тиімді басқаруға болады.

16.

Пайдаланылған әдебиеттер
• https://stud.kz/
• https://wikwpedia.org/
• https://habr.com/ru/articles/532700/
• https://www.sciencedirect.com
• https://ieeexplore.ieee.org
• https://www.khanacademy.org
• https://www.springer.com