Конечно-разностные методы решения систем уравнений, описывающих нестационарные режимы работы теплообменника

1. Математическое моделирование

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
Лекция 14.
Конечно-разностные методы решения
систем уравнений, описывающих
нестационарные режимы работы
двухпоточного противоточного
теплообменника.

2.

T10
T20

3.

Начальные условия:
,
Граничные условия общего вида
будут иметь следующий вид:
k1( ) m1 ( )T1( ,0 ) m3 ( )T1( ,1 ) m5 ( )T2 ( ,0 ) m7 ( )T2 ( ,1 )
k2 ( ) m 2 ( )T1( ,0 ) m 4 ( )T1( ,1 ) m6 ( )T2 ( ,0 ) m8 ( )T2 ( ,1 )

4.

Явная конечно-разностная схема имеет вид:
j
j
T1,ji 1 T1,ji
T1,i T1,i 1
j
j
j
j
a1,i 1
b1,i 1( Tст ,i 1 T1,i 1 ),
x
i 2,..., n 1
j 1
j
T
T
ст ,i ст ,i j ( T j T j ) j ( T j T j ),i 1,..., n 1
1,i 1,i
ст ,i
2 ,i
2 ,i
ст ,i
T j 1 T j
j
j
T2 ,i 1 T2 ,i
2
,
i
2
,
i
j
j
j
j
a2 ,i 1
b2 ,i 1( Tст ,i 1 T2 ,i 1 ),
x
i 1,..., n
j 1,..., m

5.

Граничное условие:
k 1 m1 T1,1 m3 T
m5 T2 ,1 m 7 T
k 2 m T1,1 m T
m 6 T2 ,1 m T
j
j
j
j
2
j
j
j
j
1,n 1
j j
4 1,n 1
j
j
j
j
j
j
2 ,n 1
j j
8 2 ,n 1
j 1,..., m 1
Начальные условия:
1
1,i
T
T ( xi ), T
1
ст ,i
T
0
1
1
2 ,i
T ( xi )
0
2
Tст ( xi ), i 1,..., n 1
0

6.

Схема устойчива при выполнении условия:
|| a ||
1
x
|| a || max(| a |,| a |)
j
1,i
j
2 ,i
Погрешность аппроксимации первого порядка:
0( x ) 0( )

7.

Из конечно-разностных уравнений получаются
следующие выражения для определения
неизвестных значений температур потока и
стенки:
T1,i T1,i 1
j 1
j
j
j
j
j
T1,i T1,i b1,i 1 (Tст ,i 1 T1,i 1 ) a1,i 1 x ,
j 1
j
Tст ,i Tст ,i
j
j
j
j
j
j
(
T
T
)
(
T
T
)
1
,
i
1
1
,
i
ст
,
i
2
,
i
2
,
i
ст
,
i
j
j
T2 ,i 1 T2 ,i
j
j 1
j
j
j
j
T2 ,i T2 ,i 1 b2 ,i 1 (Tст ,i 1 T2 ,i 1 ) a2 ,i 1
x
j
j

8.

Неявная конечно-разностная схема имеет вид:
j 1
j 1
T1,ji 1 T1,ji
T1,i T1,i 1
j
j
j 1
j 1
a
b
(
T
T
1,i 1
1,i 1
ст ,i 1
1,i 1 ),
x
i 2,..., n 1
j 1
j
T
T
ст ,i ст ,i j ( T j 1 T j 1 ) j ( T j 1 T j 1 ),i 1,..., n 1
1,i
1,i
ст ,i
2 ,i
2 ,i
ст ,i
T j 1 T j
j 1
j 1
T2 ,i 1 T2 ,i
2
,
i
2
,
i
j
j
j 1
j 1
a2 ,i 1
b2 ,i 1( Tст ,i 1 T2 ,i 1 ),
x
i 1,..., n
j 1,..., m

9.

В случае
условий:
независимых
граничных
,
T1(0)=T10 T2(1)=T20
т.е. известных значений
j
1,1
T
T , T
j
10
j
2 ,n 1
j 1,..., m 1
T
j
20

10.

преобразовывая:
j
j 1 1 a1j,i 1
a
j 1
j
1,i 1
j 1
j
j 1
T
b
T
b
T
T1,i
1
,
i
1
1
,
i
1
1
,
i
1
,
i
1
ст ,i 1
x
x
j 1 1
j
j
j 1
j
j 1
j
j 1
T
T
T
T
1,i 1,i
ст ,i
1,i
2 ,i
ст ,i
2 ,i 2 ,i
j
1 aj
a2 ,i 1
j 1
2 ,i 1
j 1
j
j 1
T2 ,i 1 b2 ,i 1
T2 ,i b2j,i 1Tстj ,i1 1
T2 ,i
x
x

11.

преобразовывая:
T1,ji 1 x a1j,i 1 T1,ji 11 b1j,i 1 x a1j,i 1
j
j
j 1
T1,i x x b1,i 1 Tст ,i 1
j 1
j
j
T
1
(
ст ,i
1,i
2 ,i )
j
j
j 1
j
j 1
Tст ,i 1,i T1,i 2 ,i T2 ,i
j 1
j
j 1
j
j
T
x
a
T
b
x
a
2
,
i
2
,
i
1
2
,
i
1
2
,
i
1
2
,
i
1
j
j
j 1
T
x
x
b
T
2 ,i
2 ,i 1
ст ,i 1

12.

Из конечно-разностного аналога уравнения
энергетического
баланса
для
стенки
выражается:
j 1
ст ,i 1
T
j 1
ст ,i 1
T
j
1,i 1
j
1,i 1
j 1
1,i 1
j
2 ,i 1
j
2 ,i 1
j
ст ,i 1
T
j
j
1 ( 1,i 1 2 ,i 1 )
j
ст ,i 1
T
T
T
j 1
1,i 1
j
1,i 1
1 (
j
2 ,i 1
)
T
j 1
2 ,i 1
T
j 1
2 ,i 1

13.

Подставляя в конечно-разностные уравнения
теплового баланса потоков:
T1,ji 1 x a1j,i 1 T1,ji 11 b1j,i 1 x a1j,i 1 xT1,ji
j
j
j 1
j
j 1
T
T
T
j
ст ,i 1
1,i 1 1,i 1
2 ,i 1
2 ,i 1
x
b
1,i 1
j
j
1
(
1,i 1
2 ,i 1 )
j 1
j
j 1
j
j
j
T
x
a
T
b
x
a
xT
2 ,i 1
2 ,i 1
2 ,i 1
2 ,i 1
2 ,i
2 ,i
j
j
j 1
j
j 1
Tст ,i 1 1,i 1 T1,i 1 2 ,i 1 T2 ,i 1
x b j
2 ,i 1
j
j
1
(
1,i 1
2 ,i 1 )

14.

После преобразований получается:
2 j
j
j
x b1,i 1 1,i 1 j 1
j
b1,i 1 x a1,i 1
T
1
,
i
1
j
j
1
(
)
1,i 1
2 ,i 1
2 j
j
j 1
x
b
j
j 1
2 ,i 1 1,i 1
T1,i 1
x a2 ,i 1 T2 ,i
j
j
1
(
)
1,i 1
2 ,i 1
2 j
j
j
x b2 ,i 1 2 ,i 1 j 1
j
b2 ,i 1 x a2 ,i 1
T
2
,
i
1
j
j
1
(
)
1,i 1
2 ,i 1
j
x
b
j
2 ,i 1
j
xT2 ,i
T
ст
,
i
1
j
j
1
(
)
1,i 1
2 ,i 1

15.

j
x b
j
b1,i 1 x a1,i 1
1 (
2
j
j
1,i 1 1,i 1
j
j
1,i 1
2 ,i 1
j 1
T1,i 1
)
2 j
j
j 1
x
b
j
j 1
2 ,i 1 1,i 1
x a2 ,i 1 T2 ,i
T
1
,
i
1
j
j
1
(
)
1,i 1
2 ,i 1
2 j
j
j
j 1
x
b
j
2 ,i 1 2 ,i 1
b2 ,i 1 x a2 ,i 1
T
2
,
i
1
j
j
1
(
)
1,i 1
2 ,i 1
j
x b2 ,i 1
j
j
xT2 ,i
T
ст
,
i
1
j
j
1
(
)
1,i 1
2 ,i 1

16.

В результате, с учётом независимых граничных
условий
получается
система
линейных
алгебраических уравнений:
T1,1j 1
Х 0000...........00000 j 1
X
T
ХХХ 00...........00000 2 ,1
X
0 XXX 0...........00000 T1,j2 1
X
j 1
00 XXX ...........00000 T2 ,2
X
................................ ...... ....
000000..........XXX 00 T1,jn 1
X
000000..........0 XXX 0 T2 j,n 1
X
000000..........00 XXX j 1
X
T1,n 1
000000..........0000 X
X
j 1
T2 ,n 1

17.

Данная система решается с помощью метода
прогонки на каждом шаге по времени.
Если заданы граничные условия общего вида, то
решение системы линейных алгебраических
уравнений получается общими матричными
методами.

18.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!