Случайные сигналы в линейных системах

1. Случайные сигналы в линейных системах

Будак Владимир Павлович,
Московский энергетический институт (ТУ)
кафедра светотехники
: +7 (095) 763-5239
[email protected]

2. Корреляционная теория

Рассматривать процесс как элемент некоторого
2
(t ) M (t )
функционального пространства, в котором введена мера
что позволяет в средне-квадратичном смысле ввести все понятия анализа:
1. непрерывность случайной функции
lim (t ) ( s) 0 : lim M (t ) ( s) 0
2. дифференцируемость случайной
функции
lim
2
t s
t s
t s
(t ) ( s)
(t ) 0
t s
Важнейшую роль в функциональных пространствах играет скалярное
произведение:
B (t1 , t2 ) (t1 ), (t2 ) M (t1 ) * (t2 ) x1 x2* P2 (t1, x1; t2 , x2 )dx1dx2 второй смешанный
момент
(t1 , t2 ) M (t1 ) M (t1 ) * (t2 ) M * (t2 ) B (t1 , t2 ) M (t1 )M * (t2 )
корреляционная функция
Далее увидим, что вторые моменты обладают замкнутостью
для линейных систем – корреляционная теория

3. Эргодичность

Эргодическая гипотеза – аналог закона больших чисел для случайных
функций – соответствие между средними по
ансамблю реализаций средним по реализации
T
T
M (t ) lim (t )dt , B ( ) lim (t ) * (t ) dt
T
0
T
0
• Boltzmann – связь классической механики и статистической механики
• Для любой системы эргодичность означает, что с течением времени
система в фазовом пространстве пройдет через любую точку
• Если в системе не заданы граничные условия, то она занимает фазовый
объем, который с течением времени заполнит все фазовое пространство
• Синай доказал, что система из двух упругих шаров является
перемешивающейся
Еще более усложняется эргодичность для нелинейных систем

4. Стационарность и однородность

Стационарный (для полей однородный) в узком смысле:
( n) : Pn t1 , x1; t2 , x2 ; ; tn , xn Pn t1, x1; t2 , x2 ; ; tn , xn :
P1 t1 , x1 P1 t1 , x1 P1 ( x1 )
P2 t1 , x1; t2 , x2 P2 t1 , x1; t2 , x2 P2 x1 , x2 ; t2 t1
M (t ) M , D (t ) D , (t1 , t2 ) (t2 t1 ) ( )
Стационарный (для полей однородный) в широком смысле:
( n 2) : Pn t1 , x1; t2 , x2 ; ; tn , xn Pn t1, x1; t2 , x2 ; ; tn , xn :
M (t ) M , D (t ) D , (t1, t2 ) ( ), D (0)
Закон больших чисел является мостиком, соединяющим
математическую теорию с физическим содержанием

5. Математическое ожидание и дисперсия случайных сигналов в линейных системах

ξ
L
L
η
N
N
L k f k kL f k
k 1
k 1
M ML
- принцип суперпозиции
M x P (dx)
M L M
X
- Все явления имеют случайный характер и мы устанавливаем соотношения для средних
D * L L* *
- оператор L сам с собою не коммутирует
Дисперсия на выходе в линейных системах не выражается
через дисперсию на входе

6. Корреляционная функция

(r1, r2 ) (r1 ) (r1 )
(r )
*
2
* (r2 )
(r1 ) * (r2 ) (r1 ) * (r2 )
(r1 ) 0, (r1 ) (r1 ) (r1 ) : (r1 , r2 ) (r1 ) * (r2 ) - флуктуации случайной
величины
(r1 , r2 ) L1 (r1 )L*2 * (r2 ) L1L*2 (r1 ) * (r2 ) L1L*2 (r1 ) * (r2 ) L1L*2 (r1 , r2 )
(r1 , r2 ) (r1 , r2 )h(r1 r1 )h* (r2 r2 )d 2r1 d 2r2
(r1, r2 ) (r1 , r2 )h(r1 r1 )h* (r2 r2 )d 2r1 d 2r2
D (r, r) (r1 , r2 )h(r1 r)h* (r2 r)d 2r1 d 2r2
t1
t2
t2
Для линейных систем корреляционная теория замкнута
t

7. Спектр случайного процесса

(t1 , t2 ) (t1 ) * (t2 )
(t ) C ( )ei t d
i 1t1
i 2 t2
*
C
(
)e
d
C
(
)e
d 2
1
1
2
C ( 1 )C * ( 2 ) ei ( 1t1 2 t2 ) d 1d 2
ω1
• Если C(ω1)C*(ω2) 0 при ω1 ω2, то области различных
частот скоррелированы друг с другом
ω2
• Вклад в интеграл билинейной величины дают все
частоты
(t )
2
(t , t ) C ( 1 )C* ( 2 ) eit ( 1 2 ) d 1d 2
Энергетический спектр случайного процесса в общем случае не локализован

8. Спектр стационарного процесса

Пусть имеется стационарный процесс: (t1 , t2 ) (t1 t2 )
1
C ( 1 )C * ( 2 )
(t1 t2 )e i ( 1t1 2 t2 ) dt1dt2
2
1
Перейдем к новым переменным: T t1 t2 , t1 t2
2
t1 t2
D (t1 , t2 ) T T
1
1
t1 T , t2 T :
1 1 1
2
2 D (T , ) t1 t2
2
2
1
C ( 1 )C * ( 2 )
(
)
exp
i
(
)
T
i
(
)
1
2
1
2 d dT
2
2
2
1
1
, 1 2 : C ( 1 )C * ( 2 )
( )exp i T i d dT
2
2
1
i
i
C ( 1 )C * ( 2 )
exp
i
T
dT
(
)e
d
(
)
e
d ( 1 2 )
2
Спектр стационарного процесса локализуется на диагонали

9. Спектральная плотность случайного процесса – спектр Wiener-Хинчина

S ( ) ( )e i d :
C ( 1 )C * ( 2 ) S ( ) ( 1 2 ),
D (0) S ( )d
1 2
2
1 2
- спектр локализован вдоль диагонали
i 2
d 2 , S ( ) ( )e i 2 d 2 , r1 r2
Для случайных полей: ( ) S ( )e
1
1
( ) ( )h R ( ) h* R ( ) d 2 d 2 R
2
2
S ( ) S ( ) H ( ) H * ( )
Спектральная теория в линейных систем имеет смысл только для
стационарных (однородных) функций

10. Квазиоднородные поля

• Любое реальное поле неоднородно уже хотя бы в силу своей ограниченности
• Существуют поля с достаточной для практики точностью близкие к однородным
1
C ( 1 )C * ( 2 ) (T , )exp i( T ) dTd
2
:
T
S (T , ) (T , )e i d
Спектр Wigner – похож на обычный, но может быть и отрицательный