Динамика твердого тела. Лекция 10: Метод кинетостатики

1. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

ЛЕКЦИЯ 10:
МЕТОД КИНЕТОСТАТИКИ

2. 1. Уравнения кинетостатики

Так же как и для одной материальной точки, дифференциальным уравнениям
движения материальной системы можно придать форму уравнений статики. Этот
метод часто применяется в инженерных расчетах, особенно при определении динадинамических реакций опор твердого тела.
активные силы реакция связей
J k mk wk - сила инерции
m w F +R
F +R J 0
k
k
k
n
n
k
k
n
F + R J
k 1
k
k 1
k
учитываются только
внешние силы!
n
r
k 1
k
n
k 1
k
k
k
0
учитываются только
внешние силы!
3 уравнения
В каждый момент времени сумма главных векторов
активных сил, реакций связей и сил инерции движущейся
материальной системы равна нулю
n
Fk + rk R k rk J k 0
k 1
F+R J 0
k 1
MO +MOR MOJ 0
3 уравнения
В каждый момент времени сумма главных моментов
активных сил, реакций связей и сил инерции движущейся
материальной системы равна нулю

3. 2. Уравнения кинетостатики

F+R J 0
MO +MOR MOJ 0
Движение твердого тела вполне определяется шестью уравнениями кинетостатики,
точно так же как равновесие твердого тела вполне определяется соответствующими
шестью уравнениями (тремя уравнениями проекций и тремя уравнениями
моментов).
Если рассматривается система, состоящая из нескольких тел, то можно составить
соответствующие уравнения кинетостатики для каждого тела в отдельности.
Применение метода кинетостатики для твердого тела требует прежде всего
умения вычислить главный вектор и главный момент его сил инерции.
Зная их проекции на выбранные оси координат, следует
1) составить уравнения кинетостатики
2) определить из этих уравнений неизвестные величины.

4. 3. УК=теоремы об изменении кол-ва и момента кол-ва дв-ия

количество движения системы
n
n
d n
J J k mk w k mk v k
dt k 1
k 1
k 1
dQ
J
= Mw C
dt
n
m v
k 1
k
k
Q Mv C
главный вектор всех сил инерции точек материальной
системы равен производной по времени от количества
движения материальной системы, умноженной на -1
KO
dv k
d n
M rk J k rk mk w k rk mk
rk mk v k
dt
dt k 1
k 1
k 1
k 1
n
n
n
J
O
dK O
M
dt
J
O
главный момент всех сил инерции равен производной по
времени от момента количеств движения материальной
системы, умноженной на -1.

5. 4. Вычисление главного вектора сил инерции ТТ

J MwC
Главный вектор сил инерции твердого тела равен силе инерции его
центра масс, в предположении, что в нем сосредоточена масса всего тела

6. 5. Вычисление главного момента сил инерции ТТ

MCJ
dK C
dK C
ω KC
dt
dt
dKCx
y KCz z KCy
dt
dK
J
M Cy
Cy z KCx x KCz
dt
dK
M CzJ Cz x KCy y KCx
dt
J
M Cx
Система координат Cxyz жестко
связана с телом
KCx I x x I xy y I xz z
KCy I y I xy x I yz z
KCz I z I xz x I yz y
J
M Cx
I x x I xy y x z I xz z x y I yz z2 y2 I z I y y z
J
M Cy
I y y I yz z y x I yx x y z I xz x2 z2 I x I z z x
M CzJ I z z I xz x y z I yz y x z I xy y2 x2 I y I x x y
x x , y y , z z ,

7. 6. Частные случаи

1) Случай плоского движения твердого тела, имеющего плоскость материальной
симметрии.
Ось z перпендикулярна к плоскости симметрии, совпадающей с плоскостью движения
I xz I yz 0, x y 0, x y 0
J
J
M Cx
M Cy
0, M CzJ ICz z
2) Случай вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.
Выберем в качестве полюса произвольную точку на оси вращения, ось z совместим
с осью вращения, а оси х и у скрепим с вращающимся телом.
x y 0, x y 0
M xJ I xz z I yz z2
M yJ I yz z I xz z2
M zJ I z z
J
M Cx
I x x I xy y x z I xz z x y I yz z2 y2 I z I y y z
J
M Cy
I y y I yz z y x I yx x y z I xz x2 z2 I x I z z x
M CzJ I z z I xz x y z I yz y x z I xy y2 x2 I y I x x y

8. 7. Статические и добавочные динамические реакции

F+R J 0
MO +MOR MOJ 0
статические реакции
R Rст R д
MOR MORст MORд
добавочные динамические реакции
F+R ст 0
MO +MORст 0
Rд J 0
MORд MOJ 0
уравнения для определения статических реакций
уравнения для определения динамических реакций

9. 8. Пример 1: определение добавочных динам. реакций

Статические реакции
R cтA 2mg
H h
R cтB 0
Дополнительные динамические реакции
m
J 0
Силы инерции составляют пару сил.
Она может быть уравновешена только другой парой сил.
RBд RAд
h
ma 2
H
m J1
a
J2
J 1 J 2 ma 2
MOJ ma 2h
B
R дB
R дA
A
R cтA

10. 9. Пример 2: несколько тел

Груз скользит вниз по наклонной эстакаде,
свободно лежащей на земле. Коэффициенты
трения скольжения между грузом и
эстакадой, эстакадой и землей равны f,f0
соответственно. При каких условиях
эстакада не начнет движение?
m1g sin F1 m1w 0
m1g cos N1 0
F m1w cos 0
N m1g m2 g m1w sin 0
f0
N1
F1
N mg
1
m1w m1g sin f cos
Эстакада + груз
m1w
m1w
m2g
Движение груза
F f0 N
y
y
F
F m1g sin f cos cos
m1g
x
x
N m1g m2 g m1g sin f cos sin
m2 g m1g cos f sin cos
m1 sin f cos cos
m2 m1 cos f sin cos

11. 10. Пример 3

Геометрия: С движется по окружности радиуса
с центром в точке О
F+R J 0
l
N2 ml cos ml 2 sin
N1 mg ml sin ml 2 cos
M Cz M CzR ICz 0
1 2
ml l N1 sin N 2 cos
3
N1 sin N2 cos mgl sin ml 2
4 2
ml mgl sin
3
2 2 d 2
d cos
3g
ml
mgl
2 cos 0 cos
3
dt
dt
2l
3
N 2 mg sin 3cos 2 cos 0
4
1
N1 mg 1 6cos 0 cos 9 cos
4
2
N 2 0 cos cos 0
3