Основные методы интегрирования

1. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

2.

1. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Вычисление интегралов с помощью основных их свойств и таблицы основных
интегралов называется н е п о с р е д с т в е н н ы м и н т е г р и р о в а н и е м .
Пример 1. Найти интеграл 8 х 5 х 3х 4 dx .
3
2
Решение.
8х 5х 3х 4 dx 8 х dx 5 x dx 3 xdx 4 dx
3
2
3
2
x4
x3
x2
5
3
8
5
3
4x c 2x 4 x 3 x 2 4x c .
4
3
2
3
2
2 33 х2 5 х
dx .
Пример 2. Найти интеграл
3
x
Решение.
2 33 х2 5 х
2
x3
x
1
2
1
2
3
1
x6
1
6
dx 2 x
3
2 dx 3
5 ln x c
x
4
x
5
6 dx 5
dx
x
18 6 x 5 ln x c .

3.

2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОДВЕДЕНИЕМ ПОД ЗНАК ДИФФЕРНЦИАЛА

4.

Внесение под знак дифференциала постоянного множителя
Внесение под знак дифференциала функции
После выполнения операции подведения под знак дифференциала нужно сопоставить полученный
интеграл с табличным, обозначив мысленно все выражения, стоящие под знаком дифференциала,
одной буквой (новой переменной интегрирования U)

5.

6.

3. МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЗАМЕНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
(подстановкой)
Часто удается с помощью замены переменной интегрирования упростить данный
интеграл.
Пусть требуется найти интеграл f x dx .
Выполним подстановку x t , где t - функция, имеющая непрерывную
производную.
Учитывая, что dx t dt , получим формулу и н т е г р и р о в а н и я з а м е н о й
переменной (подстановкой)
f x dx f t t dt .
Иногда используют подстановку вида t x , тогда
f x x dx f t dt .
Замечание. После нахождения интеграла надо перейти от новой переменной t
переменной x .
Пример Найти интеграл
3x t ,
t
1
1
1
cos3 x dx x , cost dt sin t c sin 3 x c
3
3
3
3
1
dx dt
3
к

7.

Пример Найти интеграл
x dx
x 5
2
3
x 5 t,
x 5 t2,
x t2 5
dx t 2 5 dt 2t dt
t 5 2t dt 2 t 5 dt 2 t 5t c
2
t
3
2
3
x 5 3 10 x 5 c .
4. МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ
Пусть U U x и V V x – функции, имеющие непрерывные
производные, тогда справедлива следующая формула интегрирования по
частям
U dV UV VdU .
Рассмотрим некоторые типы интегралов, которые можно найти с
помощью метода интегрирования по частям.
1) Интегралы вида
kx
Pn x sin kx dx, Pn x e dx, Pn x cos kx dx ,
где Pn x – многочлен n -ой степени, k – число.
В интегралах этих типов полагают U Pn (x) , а dV - все остальные
сомножители.

8.

Pn ( x) ln kx dx , Pn ( x) arcsin kx dx ,
Pn ( x) arccoskx dx , Pn ( x)arctgkx dx , Pn ( x)arcctgkx dx ,
2) Интегралы вида
где Pn (x ) - многочлен n -ой степени, k - число.
В этом случае за dV Pn ( x)dx .
ax
ax
e
sin
bx
dx
e
cosbx dx .
3) Интегралы вида
,
Эти интегралы находятся двукратным интегрированием по частям.
Пример
U 3x 2
dU (3 x 2) dх 3dx
5x
(3x 2)e dx dV e 5 x dx
V e 5 x dx
1
1
(3 x 2) e 5 x e 5 x 3dx
5
5
1 5x
e
5
1
3 5x
e 5x
7
5x
3x 2 e
e c
3
x
с.
5
25
5
5