Основные методы интегрирования

1.

Вычисление интегралов с помощью основных
свойств неопределенного интеграла и
таблицы
интегралов
называется
непосредственным
или
элементарным
интегрированием.

2.

Вычислить интегралы:
1
(2 sin x 6 3x
2
)dx

3.

(
2
sin
x
6
3
x
)
dx
2
2 sin xdx 6dx 3x dx
2
2 sin xdx 6 dx 3 x dx
2
2 cos x 6 x x C
3

4.

2
3x x x 2
dx
2
x
4
3

5.

3x 4 x 3 x 2
dx
2
x
1
1
2
3 x x 2 2 dx
x
x
1
1
3 x dx xdx dx 2 2 dx
x
x
2
2
x
2
3
x
ln x C
2
x

6.

3
2
2 x
x 2 1 sin 2 dx

7.

2
2 x
x 2 1 sin 2 dx
1
2 x
2 2
dx sin
dx
x 1
2
1
2arctgx (1 cos x)dx
2
1
1
2arctgx x sin x C
2
2

8.

Метод замены
формулой:
переменной
описывается
f ( x)dx f ( (t )) (t )dt
1

9.

Где х=φ(t) – функция, дифференцируемая на
рассматриваемом промежутке.
Покажем справедливость этой формулы.
Найдем производную по t от левой и правой
части выражения (1):
f ( x)dx f ( x)dx
t
x
xt f ( x) (t )
f ( (t)) (t)dt
t
f ( (t )) (t ) f ( x) (t )

10.

Получили
одинаковый
результат,
следовательно по следствию из теоремы
Лагранжа
левая
и
правая
части
выражения (1) отличаются на некоторую
постоянную.
Т.к.
сами
неопределенные
интегралы
определены с точностью до произвольного
постоянного слагаемого, то эту постоянную
можно опустить.
Т.об,
f ( x)dx f ( (t )) (t )dt

11.

Полученная
формула
показывает,
что
переходя к новой переменной, достаточно
выполнить
замену
переменной
в
подынтегральном выражении.
Удачная замена переменной позволяет
упростить исходный интеграл и в
некоторых
случаях
свести
его
к
табличному.

12.

Вычислить интегралы:
1
x( x 1)
12
dx

13.

x 1 t
x( x 1)
12
dx x t 1
dx dt
(t 1) t 12dt t 12dt t 13dt
t
t
( x 1)
( x 1)
C
C
13 14
13
14
13
14
13
14

14.

2
sin
4
x cos xdx

15.

sin
4
x cos xdx
sin x t
dt cos xdx
dt
1 5
1
t dt t C sin 5 x C
5
5
4

16.

Пусть F(x) – некоторая
первообразная для функции f(x).
Тогда
1
f (kx b)dx F (kx b) C
k

17.

Вычислить интегралы:
1
3
3 xdx

18.

3
k 1
4
3
3
3 xdx
(3 x) C
b 3
4

19.

2
1
4 x 3 dx

20.

k 4 1
1
4 x 3 dx b 3 4 ln 4 x 3 C

21.

Пусть функции u(x) и v(x)
определены и дифференцируемы на
промежутке Х и функция
u ( x) v( x)
имеет первообразную на этом
промежутке.

22.

Тогда функция
v ( x) u ( x)
тоже имеет первообразную на
этом промежутке и справедлива
формула
u( x) v ( x)dx u( x) v( x) v( x) u ( x)dx

23.

Найдем производную произведения данных
функций:
u( x) v( x)
u ( x) v( x) u ( x) v ( x)
Отсюда выражаем второе слагаемое в правой
части выражения:
u ( x) v ( x) u ( x) v( x) u ( x) v( x)

24.

Слагаемые
в
правой
части
имеют
первообразную на промежутке Х по условию
теоремы, следовательно, левая часть тоже
имеет первообразную на этом промежутке и
интегрируя равенство, имеем:
u( x) v ( x)dx u( x) v( x) dx u ( x) v( x)dx
u ( x) v( x)
u
(
x
)
v
(
x
)
dx
u
(
x
)
v
(
x
)
u
( x) v( x)dx

25.

Поскольку
u ( x)dx du
v ( x)dx dv
То последнее равенство часто записывают в
виде:
u
dv
u
v
v
du

26.

Вычислить интегралы:
1
x e
x
dx

27.

u x
x e dx du dx
x
dv e dx
x
v e
x
x e e dx x e e C
x
x
x
x

28.

2
ln xdx

29.

u ln x
1
ln
xdx
du dx
x
dv dx
v x
x
x ln x dx x ln x x C
x

30.

3
x
2
cos xdx

31.

x
2
cos xdx
u x2
dv cos xdx
du 2 xdx
v sin x
x cos x 2 x sin xdx
2
u x
dv sin xdx
du dx
v cos x
x cos x 2 x cos x 2 cos xdx
2
x cos x 2 x cos x 2 sin x C
2

32.

Можно
показать,
что
формула
интегрирования по частям применима для
следующих типов интегралов:
x
x
n
n
e dx
ax
cosmxdx
x
n
x
sin mxdx
k
ln xdx
n

33.

x
k
arcsin xdx
x
k
arctgxdx
x
k
arccosxdx
x
k
arcctgxdx
Где a, m, k – действительные числа, n – целое
положительное число.