Компланарные векторы. Правило параллелепипеда\

1.

Компланарные
векторы.
Правило
параллелепипеда

2.

Векторы называются компланарными, если при
откладывании их от одной и той же точки они будут
лежать в одной плоскости.
Другими словами, векторы называются
компланарными, если имеются равные им векторы,
лежащие в одной плоскости.
c
a
Любые два вектора
компланарны.

3.

Три вектора, среди которых имеются два
коллинеарных, также компланарны.
k
c
a

4.

Являются ли векторы AD, А1С1 и D1B компланарными?
D1
A1
C1
B1
Вектор D1В не лежит в этой
C плоскости.
D
A
Векторы А1D1, A1C1 лежат в
плоскости А1D1C1.
B
Векторы AD, А1С1 и D1B не компланарны.

5.

№355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Компланарны ли векторы?
АА1, СС1, ВВ1
Три вектора, среди которых имеются
два коллинеарных, компланарны.
В1
С1
А1
D1
В
А
С
D

6.

№355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Компланарны ли векторы?
АВ, АD, АА1
Векторы АВ, АD и АА1 не компланарны, так
как вектор АА1 не лежит в плоскости АВС.
В1
С1
А1
D1
В
А
С
D

7.

№355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Компланарны ли векторы?
В1В, АС, DD1
Три вектора, среди которых имеются
два коллинеарных, компланарны.
В1
С1
А1
D1
В
А
С
D

8.

№355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Компланарны ли векторы?
АD, CC1, А1B1 Векторы АВ, АD и АА1 не компланарны, так
как вектор АА1 не лежит в плоскости АВС.
В1
С1
А1
D1
Векторы АD, CC1, А1B1
не компланарны
В
А
С
D

9.

Любые два вектора компланарны.
Три вектора, среди которых имеются два
коллинеарных, также компланарны.
Признак компланарности
c можно разложить по векторам
a и b , т.е. представить в виде c = xa + yb
где x и y – некоторые числа, то векторы a, b и c
Если вектор
компланарны.

10.

С
c = xa + yb
В1
Докажем, что
векторы
компланарны.
А1
В
О
a
c
b
А
Векторы ОА и ОВ лежат в одной плоскости ОАВ.
ОА1 = х ОА
ОВ1 = у ОВ
Векторы ОА1 и ОВ1 также лежат плоскости ОАВ.
А следовательно, и их сумма – вектор ОС = х ОА + у ОВ,
равный вектору .
c

11.

Справедливо и обратное утверждение.
Признак компланарности
ca b c
Если векторы ,
и
компланарны, а векторы
Если вектор
можно разложить по векторам
aa ии b
коллинеарны, то вектор cc =
можно
xa + yb
представить в виде
b не, т.е.
разложить по векторам a и b
где x и y – некоторые числа, то векторы a, b и c
c = xa + yb , причем
компланарны.
коэффициенты разложения определяются
единственным образом.

12.

П
О
В
Т
О
Р
И
М
Сложение векторов.
Правило треугольника.
АВ + ВС = АС
a+b
b
a
b
a

13.

Сложение векторов. Правило параллелограмма.
П
О
В
Т
О
Р
И
М
АВ + АD = АС
a+b
В
b
b
a+b
А
a
a
D
C

14.

Сложение векторов.
Правило многоугольника.
П
О
В
Т
О
Р
И
М
АВ + ВС + СD + DO = АO
n
m
a
m
c
c
a
n
+
m
+
c
+
a
n

15.

Правило Параллелепипеда. OA + OB + OC = OD
из OED
из OAE
OD = OE + ED = (OA + AE) + ED = OA + OB + OC =
D
=a+b+c
В1
С
c
Е
A
В
О
a
b

16.

Разложение вектора по трем некомпланарным
векторам. Если вектор представлен в виде
p = xa + yb + zc
x , y и z - некоторые числа, то говорят, что вектор p
разложен по векторам a , b и c . Числа x , y и z
где
называются коэффициентами разложения.
Теорема о разложении вектора по трем
некомпланарным векорам.
Любой вектор можно разложить по трем данным
некомпланарным векторам, причем коэффициенты
разложения определяются единственным образом.

17.

По правилу многоугольника ОР = ОР2 + Р2Р1 + Р1Р
Докажем,
что любой вектор можно представить в виде
ОР
2 = x OA
ОР = x OA + y OB + z OC
Р2Р1= у OВ
p = xa + yb + zc
p
p = xa + yb + zc
Р1Р = z OC
a
P
b
c
C
p
B
P1
P2
O
a
A

18.

Докажем теперь, что коэффициенты разложения
определяются единственным образом. Допустим, что это
не так и существует другое разложение вектора
–
p = xa
x1a++yb
y1b+ +zcz1c
Это равенство выполняется
только тогда,
когда
o
o
o
o = (x – x )a + (y – y )b + (z – z )c
1
1
1
Если предположить, например, что z z1 0 , то из этого
x x1 y y1
a
b
равенства можно найти с
z z1
z z1
Тогда векторы a , b и c компланарны. Это противоречит
условию теоремы. Значит, наше предположение не верно,
и x x1 , y y1 , z z1 . Следовательно,
коэффициенты
разложения p xa yb zc определяются
единственным образом.

19.

№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов:
АВ + АD + АА1 = AC1
D1
A1
C1
B1
D
A
С
В

20.

№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов:
DА + DC + DD1 = DB1
D1
A1
C1
B1
D
A
С
В

21.

№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов:
A1B1 + C1B1 + BB1
D1
A1
C1
B1
D
A
С
В
DC + DA + DD1 = DB1

22.

№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов:
A1A + A1D1 + AB
D1
A1
C1
B1
D
A
С
В
A1A + A1D1 + A1B1 = A1C

23.

№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов:
B1A1 + BB1 + BC
D1
A1
C1
B1
D
A
С
В
BA + BB1 + BC
= BD1

24.

№359 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Разложите вектор BD1 по векторам BA, ВС и ВВ1.
По правилу параллелепипеда ВD1 = BA + BC + BB1
D1
A1
C1
B1
D
A
С
В

25.

№359 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Разложите вектор B1D1 по векторам А1A, А1В и А1D1.
По правилу треугольника из А1В1D1:
D1
A1
C1
В1D1 = B1A1+ А1D1 =
из А1В1B
B1
= (В1B + BA1)+ А1D1 =
= (A1A – A1B)+ А1D1 =
D
A
С
В
= A1A – A1B+ А1D1

26.

Решение задач
№ 379 Дан тетраэдр АВСD. Найдите сумму
векторов:
а) АВ+ВD+DC
A
D
B
C

27.

Решение задач
№ 379 Дан тетраэдр АВСD. Найдите сумму
векторов:
а) АВ+ВD+DC
A Решение.
AB+BD= AD, AD+DC=AC
D
B
C
Ответ: АС

28.

Решение задач
№ 379 Дан тетраэдр АВСD. Найдите сумму
векторов:
б) АD+CВ+DC
A
D
B
C

29.

Решение задач
№ 379 Дан тетраэдр АВСD. Найдите сумму
векторов:
б) АD+CВ+DC
A Решение.
AD+DC= AC, AC+CB=AB
D
B
C
Ответ: АB

30.

Решение задач
№ 379 Дан тетраэдр АВСD. Найдите сумму
векторов:
в) АB+CD+BC+DA
A
D
B
C

31.

Решение задач
№ 379 Дан тетраэдр АВСD. Найдите сумму
векторов:
в) АB+CD+BC+DA
A Решение.
AB+BC= AC, AC+CD=AD, AD+DA=0
D
B
C
Ответ: 0

32.

Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов :
а) AB+AD+A А1
B1
А1
С1
D1
B
С

33.

Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов :
а) AB+AD+A А1
B1
А1
С1
D1
Решение
AB+AD = АС
АС + A А1 = АС1
B
А
С
D
Ответ : АС1

34.

Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов :
б) DA+DC+D D1
B1
А1
С1
D1
B
С

35.

Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов :
б) DA+DC+D D1
B1
А1
С1
D1
Решение
DA+DC = DB
DB + DD1 = DB1
B
А
С
D
Ответ : DB1

36.

Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов :
в) А1B1+С1B1 +ВВ1
B1
А1
С1
D1
B
А
С
D

37.

Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов :
в) А1B1+С1B1 +ВВ1
B1
А1
С1
D1
Решение
А1B1+С1B1= D1 А1+ А1B1 = D1В1
D1В1 + ВВ1 = DВ + ВВ1 = DB1
B
А
С
D
Ответ : DB1

38.

Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов :
г) А1А+A1D1 +AВ
B1
А1
С1
D1
B
С

39.

Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов :
г) А1А+A1D1 +AВ
B1
А1
С1
D1
Решение
А1A+A1D1= A1D1+ D1D = A1D
A1D + AВ = A1D + DC = A1C
B
А
С
D
Ответ : A1C

40.

Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов :
д) B1А 1 +BB1 +BC
B1
А1
С1
D1
B
С

41.

Решение задач
№ 358. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов :
д) B1А 1 +BB1 +BC
B1
А1
С1
D1
Решение
B1A 1 +BB1= BA1
BA1 + ВC = BA1 + A1D 1 = BD1
B
А
С
D
Ответ : BD1

42.

Решение задач
№ 380. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Найдите сумму
векторов :
а) АB +B1C1 +DD1+CD
B1
А1
С1
D1
B
С

43.

Решение задач
№ 380. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Найдите сумму
векторов :
а) АB +B1C1 +DD1+CD
B1
А1
С1
D1
Решение
AB +B1C1 = AB +BC = AC
AC + CD + DD1 = AD1
B
А
С
D
Ответ : AD1

44.

Решение задач
№ 380. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Найдите сумму
векторов :
б) B1C1 + АB + DD1+CB1+ BC + AA1
B1
А1
С1
D1
B
С

45.

Решение задач
№ 380. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Найдите сумму
векторов :
б) B1C1 + АB + DD1+CB1+ BC + AA1
B1
А1
С1
D1
Решение
AB +B1C1 = AB +BC = AC
AC + CB1 = AB1
BC + AA1 = BA1 ; AB1 + BA1 = AC1
B
А
С
D
Ответ : AС1

46.

Решение задач
№ 380. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Найдите сумму
векторов :
в) BА + АC + CB+DC + DA
B1
А1
С1
D1
B
А
С
D

47.

Решение задач
№ 380. Дан параллелепипед ABCDА1B1С1D1.. Найдите сумму
векторов :
в) BА + АC + CB+DC + DA
B1
А1
С1
D1
Решение
DC+DA+BA +AC + CB = DB
B
А
С
D
Ответ : DB

48.

Решение задач
№ 384 Точки А1, B1, С1 – середины сторон ВС, АС и АВ
треугольника АВС, точка О- произвольная точка
пространства. Докажите , что ОА1 +ОВ1+ОС1=ОА+ОВ+ОС
В
С1
А
А1
В1
С

49.

Решение задач
№ 384 Точки А1, B1, С1 – середины сторон ВС, АС и АВ
треугольника АВС, точка О- произвольная точка
пространства. Докажите , что ОА1 +ОВ1+ОС1=ОА+ОВ+ОС
В
Доказательство ОС+СА1 =ОА1 ; ОА1 +А1В=ОВ;
СА1+А1В=1/2СВ, значит ОС - ОА1=ОА1-ОВ
отсюда следует, что ОС+ОВ=2ОА1
Аналогично, ОС+ОА=2ОВ1 и ОВ+ОА=2ОС1
С1
А
А1 Складывая почленно три полученные
равенства, получим равенство,
которое необходимо доказать.
В1
С