Дифракция (тема №30)

1. Дифракция

2. 1. Определение дифракции

Дифракцией называется круг
явлений, наблюдаемых при
распространении света в среде
с резкими неоднородностями и
связанных с отклонением от
законов геометрической
оптики.
Дифракция приводит к огибанию волнами
препятствий и проникновению света в
область геометрической тени.
Для наблюдения дифракции световых волн
необходимо создание специальных условий.
Это обусловлено малостью длины световой
волны.

3. 2. Дифракция и интерференция

Между и интерференцией и дифракцией нет существенного физического
различия. Оба явления заключаются в перераспределении
светового потока в результате суперпозиции волн.
Перераспределение интенсивности, возникающее в результате
наложения волн, возбуждаемых конечным числом источников,
принято называть интерференцией.
В случае суперпозиции волн от источников, расположенных непрерывно,
принято говорить о дифракции света.

4. 3. Принцип Гюйгенса-Френеля

Проникновение световых волн в область
геометрической тени может быть объяснено
с помощью принципа Гюйгенса: каждая точка,
до которой доходит волновой фронт,
служит источником вторичных сферических волн;
огибающая этих волн дает положение
фронта волны в следующие моменты времени.
Однако, этот принцип не дает сведений
об амплитуде и об интенсивности
вторичных волн, распространяющихся
в различных направлениях.
Учет амплитуд и фаз вторичных волн
позволяет найти амплитуду суммарной
волны в любой точке пространства.
Развитый таким способом
принцип Гюйгенса получил название
принципа Гюйгенса-Френеля.

5. 4. Интеграл Френеля

Согласно принципу Гюйгенса-Френеля каждый элемент волнового фронта
служит источником вторичной сферической волны, амплитуда которой
пропорциональна площади элемента dS , и обратно пропорциональна
Расстоянию
до точки наблюдения P
a
r
dE K ( ) 0 dS cos( t kr 0 ).
r
Множитель K ( ) зависит от угла между нормалью
к площадке dS ,
и направлением от dS к точке наблюдения P. Результирующее колебание
Определим по принципу суперпозиции E K ( ) a0 cos( t kr ) dS .
0
полей:
r
n
S

6. 5. Зоны Френеля

Вычисление интеграла Френеля
a0
E K ( ) cos( t kr 0 )dS
r
S
является весьма трудоемкой задачей.
Однако, если источники расположены с
достаточной симметрией, амплитуда
результирующего поля может быть
найдена простым алгебраическим или
геометрическим суммированием.
Для нахождения амплитуды колебаний
в точке наблюдения P разобьем на
кольцевые зоны волновую поверхность
так, что расстояния от краев каждой
зоны до точки наблюдения отличаются
На 2. Эти зоны называются зонами
Френеля. Очевидно, что зоны Френеля
симметричны относительно линии LP.

7. 6. Вклад от соседних зон

Рассмотрим вклад в
результирующее волновое
поле от аналогичных
точек двух соседних зон,
то есть лежащих симметрично
относительно границ зон в их серединах или у внешних,
или у внутренних краев.
Поскольку расстояния от
краев каждой зоны до точки
наблюдения отличаются на
2, то волны, приходящие
от аналогичных точек будут
колебаться в противофазе.
Это означает, что и результирующие колебания, создаваемые каждой из
зон в целом, будут для соседних зон различаться на . Следовательно,
колебания в точке наблюдения от соседних зон ослабляют друг друга.

8. 7. Площади зон Френеля (I)

Внешняя граница k-ой зоны
выделяет на волновой
поверхности сферический
сегмент высотой
hk OC.
Обозначим площадь этого
сегмента через Sk . Тогда
площадь k-ой зоны Френеля
можно представить в виде
Sk Sk Sk 1 ,
где Sk 1 – площадь сегмента,
выделяемого внешней
границей (k-1)-зоны.
Из рисунка видно, что rk a (a hk ) (b k 2) (b hk ) .
Здесь: a – радиус волновой поверхности; rk – радиус внешней границы
k-ой зоны. Возведя скобки в квадрат, получим
2
2
2
2
2
rk2 a 2 (a 2 2ahk hk2 ) (b 2 2k k 2 2 4) (b 2 2bhk hk2 ).

9. 7. Площади зон Френеля (II)

rk2 a 2 (a 2 2ahk hk2 ) (b 2 2k k 2 2 4) (b 2 2bhk hk2 ).
Воспользуемся этим «двойным уравнением» для нахождения hk :
a 2 a 2 2ahk hk2 b 2 2k k 2 2 4 b 2 2bhk hk2
2(a b)hk bk k 2 ( 2) 2
bk k 2 ( 2) 2
hk
.
2(a b)
Ограничившись рассмотрением не
слишком больших k , можно ввиду
Малости пренебречь слагаемым,
содержащим 2 . В этом приближении
bk
hk
.
2(a b)

10. 7. Площади зон Френеля (III)

Площадь сферического сегмента
h – высота сегмента.
Следовательно в нашем случае
а площадь k-ой зоны равна
S k S k S k 1
ab
a b
S 2 Rh, где R – радиус сферы, а
bk
ab
S k 2 ahk 2 a
k ,
2(a b)
a b
. Полученное нами выражение не зависит от
k, т.е. площади зон примерно одинаковы.

11. 8. Радиусы зон Френеля

По теореме Пифагора
rk2 a 2 (a hk )2
rk2 a 2 a 2 2ahk hk2
rk2 2ahk hk2 .
При не слишком больших k высота
сегмента
bk
hk
a,
2(a b)
Если предположить, что
a b 1м, 0,5 мкм,
поэтому можно считать, что
то для радиуса первой (центральной)
rk
зоны получается значение r1 0,5 мкм.
Радиусы последующих зон пропорциональна k .
ab
2ahk
k .
a b

12. 9. Амплитуда колебаний для зон Френеля

Площади зон Френеля
примерно одинаковы.
Расстояние bk от зоны
до точки наблюдения
плавно растет с номером
зоны k . Угол
между
нормалью к поверхности
элемента зоны и
направлением на точку
наблюдения также
растет с k
Все это приводит к тому, что амплитуда Ak колебания, возбуждаемого
k-ой зоной в точке наблюдения, монотонно убывает с ростом k .
Даже при очень больших k когда площадь зоны начинает заметно расти
с k убывание множителя K ( ) K ( ) в интеграле Френеля превышает
рост S k , так что амплитуда колебаний Ak продолжает убывать.
Таким образом, амплитуды колебаний, возбуждаемых в точке наблюдения
зонами Френеля, образуют монотонно убывающую последовательность
A1 A2 A3 ... Ak 1 Ak Ak 1 ...

13. 10. Полностью открытая волновая поверхность

Фазы колебаний, от соседних
зон Френеля отличаются на .
Поэтому для амплитуды A0
результирующего колебания
будет справедливо выражение
A0 A1 A2 A3 A4 ...
Четные и нечетные амплитуды
противоположны по знаку.
Представим выражение для результирующей амплитуды в виде
A0
A1 A1
A A
A
A
A
A2 3 3 A4 5 ... 2 k 1 A2 k 2 k 1 ...
2 2
2 2
2
2
2
Вследствие монотонности убывания амплитуды с ростом номера зоны
можно приближенно считать, что
A1
Am 1 Am 1 A2 k 1 A2 k 1
A
.
Am
0
Полученный результат означает,
2
2
2
что амплитуда, создаваемая в точке наблюдения всей сферической
волновой поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой лишь
одной центральной зоной Френеля.

14. 11. Зонная пластинка

Колебания от четных и нечетных
зон Френеля находятся в
противофазе и, следовательно,
взаимно ослабляют друг друга.
Если поставить на пути световой волны
пластинку, которая перекрывала бы все
нечетные (а) или четные (b) зоны, то
интенсивность света резко вырастет.
Такая пластинка, называемая зонной,
действует как собирающая линза.
Еще большего эффекта можно достичь, если
не перекрывать четные (или нечетные) зоны,
а изменить фазу их колебаний на .
Это можно осуществить с помощью
прозрачной пластинки, толщина которой в
местах четных (с) или нечетных (1) зон
изменена надлежащим образом.
Такая пластинка называется фазовой зонной
пластинкой или линзой Френеля.

15. 12. Дифракция Френеля и дифракция Фраунгофера

Различают два вида дифракции. Если
источник света и точка наблюдения
расположены друг от друга настолько
далеко, что световые лучи можно
считать параллельными, то говорят о
дифракции Фраунгофера. Если лучи
нельзя считать параллельными, то
говорят о дифракции Френеля.
Жан Огюстен Френель
1788 – 1827
французский физик
Йозеф Фраунгофер
1787 – 1826
немецкий физик

16. 13. Дифракция Френеля от круглого отверстия

Поставим на пути сферической световой волны непрозрачную преграду с
круглым отверстием радиуса R. Пусть расстояние a
(от источника до
преграды) и b (от преграды до экрана) таковы,
что выполняется следующее соотношение
R
ab
m .
a b
Это означает, что отверстие (диафрагма) оставит на преграде открытыми
ab
R2 1 1
Ровно b первых зон
R2 a b
2
R
m m
m .
Френеля. Причем,
a b
a b
ab

17. 14. Максимумы/минимумы для круглого отверстия

Суммарная амплитуда в центре дифракционной картины будет равна
A1 A1
A3
A2 k 1 A2 k 1
A2 k 1
A0 A2 ...
A2 k
... Am .
2 2
2
2
2
2
Перед Am берется знак плюс, если m – нечетное, и минус – если четное.
Если m – нечетное то в центре будет наблюдаться
максимум, а результирующая амплитуда примет вид
A0
A1 A1
A
A A
A A
A
A2 3 ... m 2 Am 1 m m 1 m .
2 2
2
2 2
2
2
2
Для четного числа зон амплитуда
результирующего колебания будет
A A
A
A A
A
A A
A0 1 1 A2 3 ... m 1 Am 1 m 1 Am 1 m .
2 2
2
2
2
2
2
2
Объединяя оба выражения получим:
A0
A1 Am
.
2
2

18. 15. Дифракция от круглого диска

Поместим между источником света
и точкой наблюдения преграду в
виде непрозрачного диска малого
радиуса. Если диск закроет m
первых зон, то амплитуда будет
Am 1 Am 1
Am 3
Am 1
A0 Am 1 Am 2 Am 3 ...
Am 2
.
...
2
2
2
2
Полученный результат означает, что в центре геометрической тени будет
светлое пятно, получившее название пятна Пуассона. Опыт по его
наблюдению впервые выполнил Доминик Франсуа Араго в 1818 году.

19. 16. Пятно Пуассона

20. 17. Дифракция Фраунгофера от щели (I)

Пусть на длинную щель (длина много больше
ширины щели) перпендикулярно к ней падает
плоская световая волна.
Поместим за щелью собирающую линзу, а в ее
фокальной плоскости экран. Плоскости щели,
линзы и экрана параллельны друг другу.
Разобьем открытую часть волновой поверхности
на параллельные краям щели элементарные
прямоугольные зоны шириной dx.
Вторичные волны, посылаемые зонами под углом
к оптической оси системы, соберутся на
экране в определенной точке F .
Каждая элементарная зона создает в точке F
свой вклад в результирующее колебание
dE dA exp i( t ) .

21. 17. Дифракция Фраунгофера от щели (II)

Ограничившись рассмотрением
малых углов дифракции , можно
считать, что амплитуда колебаний
создаваемая элементарной зоной
одинакова по разным направлениям.
Тогда амплитуда колебания каждой
элементарной зоны в любой точке
экрана будет зависеть только от
площади зоны, пропорциональной
ширине зоны dx, то есть
dA dA Cdx, C const.
Обозначим алгебраическую сумму амплитуд колебаний, возбуждаемых в
некоторой точке экрана всеми зонами через A0 . Найдем эту амплитуду,
проинтегрировав вклады dA по всей ширине щели b :
b
b
0
0
A0 dA Cdx C dx Cb
A0
C
b
A0
dA dx.
b

22. 17. Дифракция Фраунгофера от щели (III)

Мы установили, что всякая элементарная
зона создает в точке наблюдения на
экране свое колебание вида
A0
dE dx exp i ( t ) .
b
Теперь определим фазовые соотношения
между колебаниями dE ,
для зон с различными координатами
Пусть будет нулевой начальная фаза колебания, возбуждаемого в точке
наблюдения на экране элементарной зоной, расположенной на щели в
точке с координатой x 0. Тогда для элементарной зоны в точке с
координатой
отставание по фазе будет формироваться на разности
хода x sin . Таким образом
x.
x
2
2
x sin dE
A0
2
dx exp i t
x sin .
b

23. 17. Дифракция Фраунгофера от щели (IV)

Колебание, возбуждаемое элементарной
зоной с координатой
в точке экрана,
положение которой определяется углом
, может быть представлено в виде
x
A0
2
dE dx exp i t
x sin
b
(имеется в виду вещественная часть этого выражения).
Результирующее колебание, возбуждаемое в точке наблюдения на экране
всей щелью, найдем в результате интегрирования по ширине щели:
b 2
Для упрощения вычисления
A0
2
E
exp i t
x sin dx. интеграла точка x 0
помещена в середину щели.
b
b 2
Введем обозначение
b 2
E
sin ,
A0
exp(i t )exp( 2i x)dx
b b 2
тогда интеграл примет вид
b 2
A
E 0 exp(i t ) exp( 2i x)dx.
b
b 2

24. 17. Дифракция Фраунгофера от щели (V)

Для результирующего колебания,
создаваемого волнами идущими от щели
под углом к оптической оси системы,
получено интегральное выражение
b 2
A0
E exp(i t ) exp( 2i x)dx.
b
b 2
В результате вычисления получим:
b 2
A0 exp(i t )
A0 exp(i t )
b 2
E
exp
(
2
i
x
)
d
(
2
i
x
)
E
exp(
2
i
x
)
b 2
b ( 2i ) b 2
b ( 2i )
A0
1
E exp(i t )
exp( i b) exp(i b)
b ( 2i )
A0 1
E exp(i t )
exp(i b) exp( i b) .
b (2i )

25. 17. Дифракция Фраунгофера от щели (VI)

Результат сложения всех волн, идущих от
щели в заданном направлении имеет вид
A 1
E exp(i t ) 0
exp(
i
b
)
exp(
i
b
)
.
b (2i )
Выражение в фигурных скобках задает
комплексную амплитуду Â
cуммарного колебания.
Воспользуемся формулой Эйлера:
exp(i b) cos( b) i sin( b); exp( i b) cos( b) i sin( b)
exp(i b) exp( i b) 2i sin( b).
После преобразования по формуле Эйлера выражение для комплексной
амплитуды примет вид
A0 1
sin( b)
sin( b sin )
ˆ
A
2i sin( b) A0
; sin Aˆ A0
.
b sin
b 2i
b

26. 18. Дифракция от щели. Максимумы и минимумы

Выражение для комплексной амплитуды
sin( b sin )
ˆ
A A0
b sin
является вещественным. Его модуль
определяет амплитуду результирующего
колебания для волн, идущих от щели
под углом к оптической оси системы
sin( b sin )
A A0
.
b sin
Для точки, лежащей против центра линзы,
0. Подстановка этого значения в формулу
для амплитуды приводит к значению A (0) A0 .
Этот результат легко объяснить. При 0 колебания от элементарных
зон приходят в точку наблюдения F0 в одинаковой фазе. Следовательно
амплитуда результирующего колебания равна алгебраической сумме
амплитуд складываемых колебаний от всех элементарных зон.
При значениях угла , удовлетворяющих условию b sin m
b sin m (m 1,2,3,...), амплитуда A обращается в нуль.

27. 19. Максимумы и минимумы. Зонный подход

Условие минимумов для дифракции Фраунгофера
на щели легко получить на основании следующего.
Если разность хода от краев щели m ,
то волновую поверхность, открываемую щелью,
можно разбить на 2m равных по ширине зон,
причем разность хода от краев каждой зоны
будет равна 2. Колебания от каждой пары
соседних зон взаимно погашают друг друга,
так что результирующая амплитуда равна нулю.
Если разность
хода от краев
щели будет
(m 1 2) ,
число зон
будет
нечетным,
действие одной из них окажется
некомпенсированным и наблюдается максимум интенсивности.

28. 20. Распределение интенсивности (I)

Интенсивность света пропорциональна
квадрату амплитуды. Следовательно
2
sin
( b sin )
2
2
I A A0
2
( b sin )
sin 2 ( b sin )
I I 0
,
2
( b sin )
где I – интенсивность света в середине
0
дифракционной картины (против центра
линзы), I – интенсивность в точке,
положение которой задается углом .
Дифракционная картина симметрична относительно центра линзы ( I I )
Количество минимумов интенсивности определяется отношением ширины
щели к длине волны: b sin m sin m b;
sin 1
m b 1 m b .
Если
b , то минимумы не возникают.

29. 20. Распределение интенсивности (II)

b sin min m b sin min 2m 2;
b sin max (m 1 2) b sin max (2m 1) 2.
Краям центрального максимума соответствуют
значения угла 1 , получающиеся из условия
b sin 1 1 arcsin( b).
Следовательно, угловая ширина центрального
максимума будет равна 1 2arcsin( b).
В случае, когда b , sin( b) b 1 2 b. Если b , то
минимумы не возникают – интенсивность убывает от середины к краям.

30. 21. Дифракционная решетка (I)

Дифракционной решеткой называется
совокупность большого числа одинаковых
щелей, отстоящих друг от друга на одно и
то же расстояние.
Периодом решетки d a b называют
расстояние между серединами соседних
щелей.
Расположим параллельно решетке линзу,
а в ее фокальной плоскости экран.
Пусть на решетку нормально падает
плоская световая волна.
Определим характер дифракционной
картины на экране.

31. 21. Дифракционная решетка (II)

Каждая из щелей даст на экране картину в
соответствии с формулой
sin 2 ( b sin )
I I 0
.
2
( b sin )
Картины от всех щелей придутся на одно и то
же место экрана – независимо от положения
щели, главный максимум лежит на оптической
оси линзы. Если колебания, приходящие в
точку наблюдения от различных щелей, будут
некогерентными, то результирующая картина
от N щелей будет
той же, как в случае
одной щели, но все
интенсивности
возрастут в N раз.
В случае когерентности изменяется характер
картины.

32. 21. Дифракционная решетка (III)

Пусть радиус когерентности
падающей волны превышает
длину решетки – колебания от
щелей будут когерентными.
Результирующее колебание в
точке наблюдения будет
суммой N колебаний с
одинаковой амплитудой A ,
сдвинутых относительно друг
друга по фазе на одну и ту же
величину .
В этих условиях результирующая амплитуда и интенсивность будут равны:
A A
sin( N 2)
sin( 2)
;
I I
sin 2 ( N 2)
sin ( 2)
2
;
sin 2 ( b sin )
I I 0
.
2
( b sin )
Из рисунка видно, что разность хода от соседних щелей d sin .
Следовательно, разность фаз для волн, идущих от соседних щелей будет
2
2
d sin
sin 2 ( b sin ) sin 2 ( N d sin )
I I0
,
2
2
( b sin )
sin ( d sin )
I 0 – интенсивность света, создаваемая одной щелью против центра линзы.

33. 22. Дифракционная решетка. Максимумы и минимумы (I)

sin 2 ( b sin ) sin 2 ( N d sin )
I I0
.
2
2
( b sin )
sin ( d sin )
Первый множитель обращается в нуль
в точках, для которых
b sin k
(k 1,2,3,...).
В этих точках интенсивность от
каждой из щелей в отдельности,
равна нулю (главные минимумы).
Второй множитель принимает значение N
d sin m
2
в точках, для которых
d sin m
(m 0,1,2....).
В этих направлениях колебания всех щелей совершаются в одной фазе,
амплитуда колебаний A
NA I max N 2 I (главные максимумы).
max
В промежутках между соседними главными максимумами имеется N 1
добавочных минимумов в направлениях, для которых колебания от щелей
взаимно погашают друг друга: Nd sin k (k 1,2,..., N 1, N 1,...,2 N 1,2 N 1,...).

34. 22. Дифракционная решетка. Максимумы и минимумы (II)

Главные минимумы:
b sin k
(k 1,2,3,...).
Главные максимумы:
d sin m
(m 0,1,2....).
Добавочные минимумы:
Nd sin k
d sin k N
(k 1,2,..., N 1, N 1,...,2 N 1,2 N 1,...).
Порядок наблюдающегося главного дифракционного максимума связан с
углом дифракции, периодом решетки и длиной волны соотношением d
m sin .
Модуль синуса не может превысить единицы, поэтому
количество наблюдающихся главных максимумов mmax d .
Угловая ширина центрального (нулевого) максимума будет зависеть от
положения ближайших к нему дополнительных минимумов, то есть
d sin 0
N
0 arcsin
Nd
0 2arcsin(
Nd
)
2
.
Nd

35. 23. Дифракционная решетка как спектральный прибор

Положение главных максимумов зависит от длины волны: d sin m .
Поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы,
кроме центрального, будут разложены в спектр. Фиолетовый фланг это
спектра обращен к центру дифракционной картины, а красный –
наружу. В центре лежит узкий нулевой максимум; у него окрашены
только края, так как ширина центрального максимума 0 зависит от .
По обе стороны от центрального максимума расположены два спектра
1-го порядка, затем два спектра 2-го порядка и т. д. Положение
красного конца спектра порядка m и фиолетового порядка m 1 будет
d sin к m к ;
d sin ф (m 1) ф ; к (m) ф (m 1)
m к (m 1) ф m 10 9.