Планирование эксперимента (ПЭ) (Лекция №14)

1. Планирование эксперимента (ПЭ)

ПЭ появилось ~ 80 лет назад как ветвь математической
статистики, в наше время самостоятельная научная
дисциплина, развивается и находит эффективное
применение в т.ч. в промышленной энергетике.
Предмет изучения этой дисциплины – широко
понимаемый эксперимент, т.е. совокупность операций,
совершаемых над объектом исследования с целью
получения информации об его свойствах.

2. Планирование эксперимента (ПЭ)

Цель планирования эксперимента – нахождение таких
условий и правил проведения эксперимента, при которых
можно получить информацию – надёжную и достоверную
– с наименьшей затратой труда (времени) и представить её
в компактной форме с количественной оценкой её
точности.
ПЭ особенно широко применяется для исследования
«плохо организованных» объектов, когда многочисленные
различные по своей природе явления протекают
совместно, в тесной связи, и нельзя разграничить их
действия и влияния на интересующее нас свойство
объекта.

3. Планирование эксперимента (ПЭ)

Пусть свойство некоторого объекта Y зависит от
нескольких величин – X1, X2, … , Xn .
Задача : выяснить характер этой зависимости.
Математически это – существует функция нескольких
переменных
Y = F (X1, X2, … , Xn ) ,
(п1)
о которой имеется лишь самое общее представление
(иногда
интуитивное).
Но хотим знать как можно больше.

4. Планирование эксперимента (ПЭ)

▪ Если исследуется влияние на Y лишь одной независимой
переменной X, то задача проста : задавая значения X
получаем Y; построим график Y = F (X), затем можем
получить функциональную зависимость
(аппроксимировать) .
Повторяя опыты при одном значении X (равноточные
измерения) можно получить и сведения об погрешностях
или о разбросе опытных точек.

5. Планирование эксперимента (ПЭ)

▪ Если независимых переменных 2, то задача усложняется,
но не сильно: снимаем и строим Y = F (X1) X2=Const,
и
Y = F (X2) X1=Const.
При необходимости можно подобрать и
функциональное выражение, аппроксимирующее
полученные зависимости.
▪ Дело усложняется, если независимых переменных >2 .
Конечно можно построить много семейств графиков, но
это будет практически бесполезная работа – сложно будет
из этого извлечь нужные сведения.
Эта модель, этот подход при n>2 не практичен.

6. Планирование эксперимента (ПЭ)

▪ Идея представить функцию Y в виде ряда, например, степенного:
Y=B0+B1X1 + B2X2 +…+ BnXn + B12X12 + B22X22 +…+ Bn2Xn2+… (п2)
▪▪ В теории планирования эксперимента искомую функцию Y
называют параметром оптимизации,
функцией цели,
функцией отклика.
Величины Xi принято называть факторами.
▪ На практике (п2) ограничивается конечным числом членов
разложения конструированием этого многочлена.

7. Планирование эксперимента (ПЭ)

▪ ▪ Чтобы это конструирование произвести следует ответить на
вопросы:
1.
Что мы знаем о зависимости Y = F (X1, X2, … , Xn ), какие
сочетания факторов и сколько таких сочетаний следует взять
для определения параметра оптимизации Y?
А затем возникают вопросы:
2.
Как определить коэффициенты B0, B1 и т.д., чтобы ряд лучше
всего соответствовал Y, которую он аппроксимирует?
3.
Как оценить точность полученного представления функции Y?

8. Планирование эксперимента (ПЭ)

▪ ▪ К параметру оптимизации Y предъявляются следующие
требования:
1. Он должен быть количественным (числовым). Его
значение должно иметь практический смысл при
любой комбинации выбранных уровней факторов.
2. Он должен быть однозначным в статистическом
смысле – заданному набору значений факторов
должно соответствовать одно с точностью до ошибки
эксперимента значение Y.

9. Планирование эксперимента (ПЭ)

3.Параметр оптимизации должен измерять
эффективность объекта исследования – это требование
является главным, определяющим корректность
постановки задачи.
4.Параметр оптимизации должен обладать
универсальностью или полнотой (способность
всесторонне характеризовать объект). Это приведенные
затраты, прибыль, КПД оборудования и другие
технические характеристики объектов.
5. Параметр оптимизации должен иметь физический
смысл (желательно), быть простым и легко
вычисляемым.

10. Планирование эксперимента (ПЭ)

▪ Большое значение имеет обоснованный выбор факторов
– от этого зависит успех решения задачи.
Факторы делятся на две группы:
► независимые факторы – величины их можно
определять и менять (в опытах и расчетах) независимо
от других факторов. – электрическая нагрузка, длина
линии электропередачи и др.
► зависимые факторы – факторы, которые можно
подобрать. – виды оборудования и т.д.

11. Планирование эксперимента (ПЭ)

эксперимента (ПЭ)
▪ Важно принять в качестве факторов Планирование
независимые
переменные, каждую из которых можно менять в
некоторых пределах не затрагивая другие.
Диапазоны (от Xi min до Xi max) изменения факторов
выбирают так, чтобы любое сочетание факторов в этих
диапазонах было разумно и имело физический смысл.
Итак факторы должны быть
независимыми,
измеряемыми с числовыми значениями,
управляемыми – возможность установки и изменения
значения фактора в задаваемом диапазоне,
ещё одно условие – совместимость факторов.

12. Планирование эксперимента (ПЭ)

▪ Совокупность независимых факторов образует
факторное пространство, которое задает область
определения параметра оптимизации.
Выражение (п1) представляет собой уравнение
поверхности в факторном пространстве – поверхности
отклика.
▪Факторы X1, X2, … , Xn в общем случае размерные
величины; числа, выражающие величины факторов,
могут иметь разные порядки – и это вносит неудобства
при решении задач.
Поэтому довольно часто предварительно производится
операция кодирования факторов – это линейное
преобразование факторного пространства.

13. Планирование эксперимента (ПЭ)

▪ Для i-го фактора переход от диапазона Xi min ÷ Xi max
к диапазону - 1 ÷ 1 по формулам:
xi = ( Xi - <Xi> ) / ΔXi
(п3)
▪ где xi – кодированное значение фактора,
Xi -- натуральное значение фактора,
<Xi> -- средний (базовый) уровень фактора = (Xi min + Xi max)/2 , (п4)
ΔXi – интервал варьирования фактора = (Xi max - Xi min ) /2 .
(п5)
После операции кодирования факторов уравнение (п2) запишется в
виде:
Y = b0 + b1x1 + … + bnxn + b12x1x2 + b11x12 …
(п6)
Коэффициенты Bk и bk в уравнениях (п2) и (п6) различны.
Средством построения математической модели служит
метод наименьших квадратов.