7f011ec878fc4642a19651b7a65f73b2

1. Векторы в пространстве

2. Координаты вектора.

А1(х1; у1; z1)
А2(x2; y2; z2)
A1А2 (x2 – x1; y2 – y1; z2 – z1)

3. 1. Найдите координаты вектора МК, если М(10; -4; 2), К(16; 2; -5)

МК (16 – 10; 2 – (-4); -5 – 2)
Ответ: МК ( 6; 6; -7)

4. Длина вектора. (модуль, абсолютная величина)

a (x; y; z)
ІaІ = √ x² + y² + z²

5. 2. Найдите модуль вектора а ( - 5; 1; 2)

ІаІ = √ 25 + 1 + 4 = √30
Ответ : √30

6. Любая точка пространства является нулевым вектором

Начало нулевого вектора совпадает с его концом
(Можно обозначать 0 или ММ)
Длина нулевого вектора равна 0

7.

Сонаправленные векторы
a
b
а в
АА

8.

Противоположно направленные векторы
a
b
а в

9. Противоположные векторы

Направления противоположны
Длины равны

10. Векторы равны, если: 1. они сонаправлены 2. их длины равны

Равные векторы
a
a
a
a
a
Векторы равны, если:
1. они сонаправлены
2. их длины равны

11. Равные векторы. Сколько равных векторов изображено на рисунках?

2
0

12. 3. При каком значении n векторы а(4; 2n - 1; -1) и в(4; 9 – 3n; -1) равны?

2n – 1 = 9 – 3n
2n + 3n = 9 + 1
5n = 10
n=2
Ответ: при n = 2

13.

Лови ошибку:
1.
BD и NK
сонаправлены
2.
ВА и MN
противоположны
противоположнонаправлены
D
K
3. ВN
N В и NC
сонаправлены
M
С
А
N
В

14.

Назовите векторы

15.

Векторы называются компланарными, если при
откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в
одной плоскости.
Другими словами, векторы называются компланарными,
если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
c
a
Любые два вектора
компланарны.

16.

Три вектора, среди которых имеются два
коллинеарных, также компланарны.
k
c
a

17.

Три произвольных вектора могут быть как компланарными,
так и не компланарными.
На рисунке изображен параллелепипед.
B1
Являются ли векторы ВВ1,
D
ОD и ОЕ компланарными?
C
Е
В
О
А

18.

Три произвольных вектора могут быть как компланарными,
так и не компланарными. На рисунке изображен
параллелепипед.
Являются ли векторы ОА,
B1
D
ОВ и ОС компланарными?
C
Векторы ОА, ОВ и ОС не
компланарны, так как вектор
ОС не лежит в плоскости ОАВ.
Е
В
О
А

19.

р x a yb z c
В1
С1
А1
D1
В
А
р
C
в
D
а
с

20.

Сложение векторов.
Правило треугольника.
АВ + ВС =
a+b
a
b
a
b
АС

21.

Правило треугольника
a
b
В
a
А
b
С
a+ b
АВ + ВС = АС

22.

b
a
a+b
a
b
Правило параллелограмма

23.

Сложение нескольких векторов в пространстве

24.

Сложение нескольких векторов в пространстве
Правило многоугольника

25.

Сложение векторов.
Правило многоугольника.
П
О
В
Т
О
Р
И
М
АВ + ВС + СD + DO
n
m
a
m
c
c
a
n
= АO

26. Сумма векторов

Если a(х1; у1; z1), а b(х2; у2; z2),
то a + b = c, где
c(х1+х2; у1+у2; z1+ z2)

27. 5. Найдите сумму векторов а и b, если а(2; 3; -1), b(3; -2; 0)

Решение:
а + b = (2 + 3; 3 – 2; -1 + 0) = (5; 1; -1)
Ответ: (5; 1; -1)

28.

Разность векторов
b
a
a b a ( b)
b
a b
a

29. Разность векторов

Если АВ(х1; у1; z1), а АС(х2; у2; z2),
то АВ - АС = СВ, где
CB(х1- х2; у1- у2; z1- z2)

30. 6. Найдите разность векторов а и b , если a(3; 7; 10), b(1; 9; -6)

Решение:
a – b = (3 – 1; 7 – 9; 10 + 6) = (2; -2; 16)
Ответ: (2; -2; 16)

31.

Умножение вектора на число
3a
a
3a
λ (x;
3
(1; y;
-2;z)0)==(λx;
(3; λy;
-6; 0)
λz)

32.

Умножение вектора на число
3a
a
3a
-3 (1; -2; 0) = (-3; 6; 0)

33.

Умножение вектора на число
1
a
2
1
a
2
a
1
a
½ (1;
-½
(1;-2;
-2;0)
0)==(½;
(-½;-1;1;0)
0) 2
1
a
2

34. 7. Найдите координаты вектора с = 2а -3b, если а(7; -3; 0) и b(4; 1; -2)

Решение:
2а(14; -6; 0)
3b(12; 3; -6)
2а - 3b = (14 – 12; -6 -3; 0 – (-6)) = (2; -9; 6)

35. 8. Найдите абсолютную величину вектора 3а, если а(4; -4; 2)

3а (12; -12; 6)
а (4; -4; 2)
І3аІ = √144+ 144+ 36 =
= √324
ІаІ = √16+ 16+ 4 = √36 = 6
3 ІаІ = 3 ·6 = 18
І3аІ = 18

36. Коллинеарные векторы

Два ненулевых вектора называются
коллинеарными,
если они
лежат на
Коллинеарные
векторы
одной прямой или параллельных
прямых .

37. Признак коллинеарности векторов:

a (х1; у1; z1) b(x2; y2; z2)
х1 у1 z 1
=
=
x2 y2 z 2

38. 9. При каких значениях m и n векторы а(4; -1; n) и с(8; m; 2) будут коллинеарны?

Составим пропорцию:
4 -1
8 m
m = (-1 · 8): 4 = -2;
n
2
n = (4· 2): 8 = 1;
Ответ: при m = -2 ; n = 1.

39. Устный тест

1.Что называется вектором?
Устный тест
а)любой отрезок
б)отрезок, обозначенный двумя заглавными латинскими буквами
в) отрезок с выбранным направлением
2. Какой вектор является нулевым?
а)длина вектора равна 0
б)вектор лежит на прямой
в)вектор обозначен одной буквой
3. Векторы коллинеарны, если…
а)лежат на прямых
б)лежат на параллельных прямых
в)один из векторов нулевой
5. Векторы называются равными, если …
а)их длины равны
б)их модули равны и векторы направлены в одну сторону
в)они отложены от одной точки
6. Векторы компланарны, если …
а) они отложены от одной точки
б) они отложены от одной точки и при этом лежат в одной плоскости
в) они лежат в одной плоскости

40. Математический диктант

Даны векторы:
а (-3; 0; 4) и b (2; 4; -4)
Запишите:
1. Координаты вектора 2a
2. Найдите сумму векторов a + b
3. Найдите разность векторов b – a
4. Длину вектора b.
5. При каком значении k и m вектор n(k; -3; m) коллинеарен вектору b?
6. Из векторов l (1; 1; -2), f(-1; -2; 2), s(2; -4; 4), t(-4; -4; 2) укажите векторы
противоположнонаправленные с вектором b .

41. Домашнее задание Выучить определения: Вектор Коллинеарные векторы Сонаправленные и противоположно направленные векторы Равные

векторы
Сумма и разность векторов
Умножение вектора на число
Задача. Найти значения m и n, при которых векторы а(3; m; 6) и
b(-6; 4; n) коллинеарны

42.

43. Спасибо за урок

СПАСИБО ЗА УРОК