Мииим

1.

Моделирование падающих
потоков
От теории к практике

2.

Введение в случайные процессы
и потоки событий
Случайные процессы описывают системы, эволюционирующие во времени
непредсказуемо. Поток событий — последовательность моментов времени,
когда происходят события. Понимание свойств таких потоков критично для
проектирования систем связи, обслуживания и управления.
Стохастичность
Временные интервалы
Непредсказуемая природа
Моменты наступления событий
событий
Интенсивность
Частота возникновения событий

3.

Основные свойства потоков событий
Три ключевых характеристики определяют поведение потоков и их моделирование.
Стационарность
Ординарность
Отсутствие последействия
Вероятностные характеристики не
События происходят поодиночке.
История потока не влияет на
зависят от времени. Интенсивность
Вероятность двух и более событий в
будущее. События независимы —
потока остаётся константой на
малом интервале пренебрежимо
вероятность события не зависит от
любом интервале.
мала.
прошлых событий.

4.

Простейший поток Пуассона
Простейший поток удовлетворяет всем трём свойствам: стационарен, ординарен и без последействия. Число
событий на интервале длины t подчиняется распределению Пуассона с параметром \lambda t.
1
Формул а Пуассона
P(k) = \frac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!}
2
Интервалы между событиями
Распределены экспоненциально с параметром
\lambda

5.

Распределение Эрланга:
глубокая связь
Распределение Эрланга порядка n описывает сумму n независимых
экспоненциальных случайных величин. Оно возникает как время
до n-го события в простейшем потоке интенсивности \lambda.
Функция плотности
Моменты
Среднее: E[T] = \frac{n}{\lambda}
Дисперсия: D[T] = \frac{n}{\lambda^2}

6.

Модел ирование потоков Эрл анга
Поток Эрланга E_n получается прореживанием простейшего потока: из каждых n событий
простейшего потока берётся только одно. Интенсивность снижается в n раз.
01
Генерируем простейший поток
Последовательность событий с интенсивностью \lambda
02
Группируем события
Разделяем на блоки по n событий
03
Выбираем репрезентантов
Берём n-е событие каждого блока
04
Получаем поток Эрл анга
Интенсивность \lambda/n, интервалы распределены по Эрлангу

7.

Потоки Пальма: обобщение и гибкость
Поток Пальма — это рекуррентный поток, где интервалы между событиями независимы и одинаково распределены.
Простейший поток — частный случай потока Пальма с экспоненциальными интервалами. Потоки Эрланга также
являются потоками Пальма.
Гибкость
2
Произвольное распределение
интервалов
Рекуррентность
Интервалы между событиями
1
независимы и идентичны
Применимость
3
Моделирование реальных систем
обслуживания

8.

Модел ирование потоков Пал ьма: практический подход
Для моделирования потока Пальма необходимо определить распределение интервалов между событиями и генерировать их последовательность.
Это позволяет учесть особенности реальных систем.
1
2
3
Выбор распределения
Генерирование интервалов
Накопление в ремён
Гамма, Вейбулла, логнормальное или
Используем обратное преобразование
Суммируем интервалы для получения
другое, в зависимости от характеристик
Фурье или метод отторжения для
моментов событий в системе
системы
получения случайных величин

9.

Специал ь ные потоки случайных
событий
Помимо стандартных потоков существуют специальные конструкции для
моделирования сложных систем: модулированные потоки (интенсивность зависит от
состояния), потоки с групповыми прибытиями, маркированные потоки с различными
типами событий.
Модул ированные потоки
Групповые прибытия
Интенсивность меняется со временем
События приходят кластерами
Маркированные потоки
События различных типов

10.

Применение на практике: от теории к
системам
Моделирование падающих потоков применяется в системах массового обслуживания (сети,
центры обработки вызовов), сетях телекоммуникаций, управлении трафиком и
планировании ресурсов. Правильный выбор модели потока критичен для проектирования
эффективных и надёжных систем.
Теория потоков
Модельные системы
Практическая оптимизация
Улучшенные сервисы