08_StredPrem_25

1. DESKRIPTÍVNA GEOMETRIA

Prednáška 8
Obsah
STREDOVÉ PREMIETANIE
Základné vlastnosti
Zobrazenie
bodu
priamky
roviny
Veľkosť úsečky
Otočenie roviny
Obrazec v rovine
Kolmica na rovinu

2.

STREDOVÉ PREMIETANIE
ν
Základné pojmy
S2
ν ... priemetňa (nákresňa)
d
S
A
As
S ... stred premietania
As ... stredový priemet bodu A
SA ... premietací lúč
S 2 ... kolmý priemet stredu S
d ... dištancia

3.

Určenie
kd
S2
SP S 2 , d
d
k d S 2 , r d ... dištančná kružnica
z
Poloha bodu S2 v nákresni
- určíme vzhľadom na súradnicové osi x, z
x
0

4.

Zobrazenie priamky
U as
kd
ν
U as
as
U
S2
as
S2
As
A
S
a 2
a
N a N as
N a N as
a 2
as ... stredový priemet priamky a
N a ... stopník priamky a
a
U as ... úbežník priamky a
a ... smerová priamka priamky a

5.

Zobrazenie bodu
Polohu určíme pomocou priamky a - nositeľky bodu A
b) nevlastný bod U
a) vlastný bod A
U as
Us
kd
kd
as
S2
S2
As
N a N as
a 2

6.

Zobrazenie roviny
ν
u ρs
u
S2
kd
ρ
s
S2
ρ
S
nρ nρs
n ρs
ρ
ρ´ ... smerová rovina roviny ρ
n ρ ... stopa roviny
u ρs ... úbežnica roviny

7.

Priamka v rovine
a) všeobecná priamka
u
ρ
s
kd
U as
ν
u ρs
U as
S2
S2
ρ
a
as
N a N as
S
n ρs
a 2
nρ nρs
Na Nas
as
a
ρ
Platí: N n
a
ρ
U as uρs

8.

b) spádové priamky roviny
ν
u ρs
u ρs
U ss
s
S2
s ρs
N
S
S2
ρ
s 2
kd
U ss
nρ
n ρs
s
s
ρ
s
Ns
s 2
ssρ
ssρ
ρ
ss
s ... smerová priamka všetkých spádových priamok
U ss ... úbežník všetkých spádových priamok

9.

c) hlavné priamky roviny
u
kd
ρ
s
S2
h ρs
nρ
Platí: h ρs
nρ

10.

Dve priamky
b) rôznobežné
a) rovnobežné
u
ρ
s
U U
a
s
b
s
u
U bs
ρ
s
c) mimobežné
U bs
U as
U as
Rs
nρ
nρ
N
as
a
N
N
b
bs
as
a
N
Na
b
bs
as
Nb
bs

11.

Skutočná veľkosť úsečky
U as
M
pomocou meracej kružnice
k
U U
M
k
r
B
B
N
As
as
a
A
ρ
a
S
As
Postup
Bs
A
N
a
d
S2
n
ρ
ρ
n ρs
A
S
u ρs
k
a
as
aa
ss
a
ν
u ρs
1. zvolíme rovinu ρ n ρ , u ρs
2. r Δ U a S -dĺžka smerového
lúča priamky a
Δ
a Δ
k
U
meracia_kružnica
s ,r
3.
4 M Δ k Δ u ρs _ merací_bod
Δ
5. A M A s a s , B M Δ B s a s
6. A B ... veľkosť úsečky

12.

Otočenie roviny do priemetne
ν
ν
So
So
u ρs
U ss
ρ
S
u ρs
S2
ρ
S
n ρs
Ao
nρ
A
Platí:
ρ
ρ
As
Medzi stredovým priemetom a otočeným obrazom je vzťah perspektívnej
kolineácie, ktorej os je stopa roviny n ρ a stred je otočený bod S

13.

Otočenie roviny do priemetne
Dané: SP S 2 , d ρ nρ , uρs
A , B A,B ležia v rovine
s
s
Zostrojte: A o B o otočením roviny do priemetne
So
U
As
k
s
s
Postup
d
u ρs
S
S2
ss
so
3. ss N s U ss bodom A s
Bs
5. A o so So A s ,
Bo
6. Bo pomocou kolineácie
s 2 s o
Ao
2. So otočením ρ do ν
4. so nρ
nρ
1s 1o
Ns
1. U ss
K So _ stred, nρ _ os, A s A o

14.

Obrazec vo všeobecnej rovine
- môžeme zobraziť dvomi spôsobmi:
1. otočením roviny do priemetne
2. využitím smerových priamok strán a uhlopriečok n-uholníka
Úloha 1: V stredovom premietaní SP S 2 0;4 , d 4,5 zobrazte
štvorec ABCD ležiaci v rovine ρ n ρ x, u ρs ,6 , keď je daný
priemet stredu štvorca Os 2;3 a vrchola štvorca As 5,5;2
Úlohu riešte otočením roviny ρ do priemetne.

15.

SP S 2 0;4 , d 4,5
Os 2;3
As 5,5;2
kd
u ρs
U ss
Bs
ss
Os
As
N
S2
Ao
Postup
1. S o
nρ
2s 2o
Do
s 2 s o
1s 1o
S
Cs
Ds
s
ρ n ρ x, u ρs ,6
So
2. s s _ bodom_ Os s o
3. Oo s o S o Os
4. Ao So As 1o Oo
5. A o Bo Co Do
Oo
6. Cs , Bs , Ds ... pomocou
Bo
Co
so
kolineácie
K stred _ S o , os _ n ρ , O o O s

16.

Úloha 2: V stredovom premietaní SP S 2 0;2,5 , d 4,5 zobrazte
obdĺžnik ABCD ležiaci v rovine ρ nρ x, uρs ,6 , keď je
daný priemet As 5;4 bodu A, Bs 1;1 bodu B a pomer
veľkostí strán AB : BC 4 : 3
Úlohu riešte využitím smerových priamok strán a uhlopriečky
obdĺžnika.

17.

SP S 2 0;2,5 , d 4,5
Postup
ρ nρ x, uρs ,6
As 5;4 Bs 1;1
AB : BC 4 : 3
1. S o
2. U sAB , U sBC
So
3. smerový obdĺžnik U sBD
4
U
AB
s
3
U sBD
Ds
As
4. Ds A s U sBC B s U sBD
U sBC
U ss
S2
Cs
u
ρ
s
5. Cs B s U sBC Ds U sAB
6. A s Bs Cs Ds
U BD
S
Bs
n
ρ
U BC
U AB
D
kd
s 2 s o
C
A
3
4
B

18.

Priamka kolmá na rovinu
Postup
1. k 2 s 2
ks
kd
U
s
Nk
As
N
u ρs
s
s
5. ss A s U ss N s
nρ
s
3. Usk k 2 k
4. k s U sk A s
S
S2
2. k s
6. N k k s nα
U ss
7. k s N k U sk
ss
n
k
U ks
S2
22 u αs
ss 22 kk
2
2
S
U ks
k
ν
s

19.

So
V
4
So
Vs
3
U sAB
U sBC
U ss
u
ρ
s
v
kd
Ds
Bs
As
S2
Cs
S
Bs
kd
ss
Os
As
nρ
1s 1o
S2
nρ
2s 2o
Do
s 2 s o
Ao
Uks s 2 s o
Oo
Uks
Co
so
S
Cs
Ds
Ns
Bo
u ρs
U ss

20.

21. Ďakujem za pozornosť

22.

V
V stredovom premietaní
SP S2 0;3 , d 3,5
os
zobrazte pravidelný 5-boký
ihlan s podstavou v rovine ρ,
daný priemetom stredu
podstavy O, bodu podstavy A
a výškou v = 9.
So
Vs
kd
v
U
B s Cs
ρ : nρ x, uρs ;4,5
Os 1,5;2,5 As 4,5;1
Os
As
O s s
5 5 1 1 4 4
N
O0
Co
s
S
k
Es
2 2
k r
Eo
so
M
Ds
S2
s
Ao
Bo
u ρs
s
s
Uks
Do
s 2 s o k 2
3 3
nρ