Правильные многоугольники

1.

ПРАВИЛЬНЫЕ
МНОГОУГОЛЬНИКИ

2.

ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК
Правильным многоугольником называется
выпуклый многоугольник, у которого все
углы равны и все стороны равны.

3. Правильный многоугольник

Правильный треугольник
Правильный четырехугольник
Правильный
шестиугольник
Правильным многоугольником
называется выпуклый
многоугольник, у которого углы
равны и все стороны равны.

4. Правильный многоугольник: 1)все углы равны; 2)все стороны равны.

Ответьте на вопросы:
Какой треугольник является
правильным? Почему?
Является ли правильным
четырехугольником прямоугольник,
ромб, квадрат? Почему?

5.

Сумма углов правильного n-угольника
(n 2) 180
0
n
(n 2) 180
n
n
0

6. Формулы урока:

Правильный п - угольник
1. Сумма всех углов правильного
п – угольника:
0
_________________________
п 2 180
А2
2. Формула для вычисления
Угол правильного угла ап правильного
п – угольника (αп) п – угольника :
А1
Ап
п 2 0
ап
18
п

7.

Вписанная и описанная окружность
Окружность называется вписанной в
многоугольник,
если все стороны многоугольника
касаются этой окружности.
Окружность называется описанной
около многоугольника, если все его
вершины лежат на этой
окружности.

8.

Вписанная и описанная окружность
Окружность, вписанная в
правильный многоугольник,
касается сторон многоугольника
в их серединах.
Центр окружности, описанной
около правильного многоугольника,
совпадает с центром окружности,
вписанной в тот же
многоугольник.

9.

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Площадь правильного многоугольника
1
S Pr
2
Сторона правильного многоугольника
180
an 2 R sin
n
0
Радиус вписанной окружности
180
r R cos
n
0

10.

Группа 1
Дано: R, n=3
Найти: а
Группа 2
Дано: R, n=4
Найти: а
Группа 3
Дано: R, n=6
Найти: а
Группа 4 Дано: r, n=3
Найти: а
Группа 5 Дано: r, n=4
Найти: а
Группа 6
Найти: а
Дано: r, n=6

11.

Группа 1 Дано: R, n=3 Найти: а
r
R
180
an 2 R sin
n
a3
0
0
180
3
0
a3 2 R sin
2 R sin 60 2 R
R 3
3
2
a3 R 3

12.

Группа 2
Дано: R, n=4
Найти: а
a4
r
180
an 2 R sin
n
R
0
0
180
2
0
a4 2 R sin
2 R sin 45 2 R
R 2
4
2
a4 R 2

13.

Группа 3 Дано: R, n=6
Найти: а
a6
r
R
180
an 2 R sin
n
0
0
180
1
0
a6 2 R sin
2 R sin 30 2 R R
6
2
a6 R

14.

Группа 4 Дано: r, n=3
r
r
R
0
180
cos
n
R
a3
0
Найти: а
180
an 2 R sin
n
0
r
r
R3
2r
0
1
cos 60
2
180
3
0
a3 2 R sin
2 2r sin 60 4r
2 3r
3
2
a3 2 3r

15.

Группа 5 Дано: r, n=4
a4
r
R
r
R
1800
cos
n
Найти: а
180
an 2 R sin
n
0
r
r
R4
2r
0
cos 45
2
2
0
180
2
0
a4 2 R sin
2 2r sin 45 2 2r
2r
4
2
a4 2r

16.

Группа 6 Дано: r, n=6
a6
r
R
1800
cos
n
Найти: а
180
an 2 R sin
r R
n
r
r
2r
R6
0
cos 30
3
3
2
0
180
2r
4r 1 2r
0
a6 2R sin
2
sin 30
6
3
3 2
3
2r
a6
3
0

17.

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ
а3 R 3
a3 2 3r
a4 R 2
a4 2r
a6 R
2r
a6
3

18.

Дано: S=16, n=4
Найти: a, r, R, P
a4
r
R
180
r R cos
n
1
S
Pr
2
Мы знаем формулы:
0
180
an 2 R sin
n
a4 R 2
a4 2r
0

19.

r
R
a3
180
r R cos
n
1
S
Pr
2
Дано: P=6, n=3
Найти: R, a, r, S
Мы знаем формулы:
0
180
an 2 R sin
n
а3 R 3
a3 2 3r
0

20.

Дано: P3 18 R3 R4
Найти: a4

21.

Подведем итог
Мы знаем формулы:
180
an 2 R sin
n
180
r R cos
n
1
S
Pr
2
0
0
а3 R 3 a3 2 3r
a4 R 2 a4 2r
a6 R
2r
a6
3

22. Подготовка к ГИА

Катеты прямоугольного треугольника
равны 40 и 9. Найдите гипотенузу.
В равнобедренном треугольнике угол,
противолежащей основанию, равен 58º.
Найдите угол при основании. Ответ
дайте в градусах.

23.

ВЕ – биссектриса угла
АВС, точка Е удалена от
стороны ВС на
расстояние, равное 5 см.
Найдите расстояние от
точки Е до стороны АВ.
А
L
Е
В
К
Ответ: 5 см.
Каждая точка биссектрисы неразвернутого
угла равноудалена от его сторон.
С

24.

Серединный перпендикуляр к
стороне ВС треугольника
А
АВС пересекает сторону АС
?
в точке D. Найдите АD и
D
8,5
СD, если BD = 5 см, АС – 8,5
см.
5
?
Каждая точка
серединного
перпендикуляра к
отрезку равноудалена В
С
H
от концов этого
Ответ: СD = 5 см,
отрезка.
АD = 3,5 см

25.

Точка касания окружности
вписанной в равнобедренный
треугольник, делит одну из
боковых сторон на отрезки,
равные 3 см и 4 см, считая
от основания. Найдите
периметр треугольника.
В
4
К
N
Отрезки касательных к
3
O
окружности, проведенные из
одной точки, равны и
составляют равные углы с
А
D
прямой, проходящей через эту
Ответ: 20 см.
точку и центр окружности.
С

26. Тест.

Выберите правильное утверждение.
1. Многоугольник является правильным,
если он выпуклый и все его стороны
равны.
2. Любой равносторонний треугольник
является правильным.
3. Любой четырехугольник с равными
сторонами является правильным.

27. Тест.

Как вы думаете, какие геометрические
фигуры, показанные на рисунке, являются
правильными многоугольниками.
4.
8.
Почему указанные
многоугольники
5. правильные?
7.
1.
3.
2.
6.
9.

28. Тест.

Сопоставьте углы правильного
п-угольника при каждом значении п:
1080
п=6
900
п=5
1200
п=8
1500
1350

29. Тест.

Известны углы правильных
многоугольников. Сколько сторон имеет
каждый из этих многоугольников.
ап=900
ап=1500
ап=1350
ап=600
5
10
8
4
3
12

30.

Внешний угол
п-угольника.
1800- ап