ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ

1.

2.

Перпендикулярные прямые в пространстве.
Две прямые в пространстве называются
перпендикулярными (взаимно перпендикулярными),
если угол между ними равен 900.
c a,
c a
a b,
a b
/
c
c
a
b

3.

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна к третьей прямой, то и другая
прямая перпендикулярна к этой прямой.
Дано: a║b; a┴с
a
Доказать: b┴c
Доказательство:
b
c
M
C
A
Проведем CM║c, MA║a.
Так как a┴с, то └AMC=90
a║b (по условию)
MA║a.(по построению) =>
}
MA║b, MC║c
MA┴MC
}
=>
b┴c

4.

D
№117.
В тетраэдре АВСD ВС АD.
Докажите, что АD MN, где М и N
– середины ребер АВ и АС.
ВС АD
BC II MN
N
А
M
B
C
MN AD

5.

Определение. Прямая называется перпендикулярной к
плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой,
лежащей в этой плоскости.
a
a

6.

Канат в спортивном зале
перпендикулярен
плоскости пола.

7.

Прямая ОА OBC. Точка О является серединой отрезка АD.
Докажите, что АВ = ВD.
По опр.
АD AD ОВ
A
O
С
D
В

8.

Прямая ОА OBC. Точка
О является серединой отрезка АD,
ОВ = ОС. Докажите, что АВ = АС.
По опр.
АD AD ОВ , AD ОС
A
O
С
D
В

9.

Прямая ОА OBC.
Точка О является серединой отрезка АD.
ОВ = ОС. Докажите, что АВ = АС.
По опр.
АD AD ОВ , AD ОС
A
O
С
D
В

10.

В треугольника АВС дано: С = 90 0, АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ
– медиана. Через вершину С проведена прямая СК,
перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем
СК = 12 см. Найдите КМ.
По опр.
КС ( АВС ) КС СМ
К
А
12 см
6см
С
М
8 см
В

11.

. Еще один эскиз к задаче
К
12 см
6см
А
С
8 см
М
В

12.

Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона
a
которого равна , проведена прямая ОК, перпендикулярная к
плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до
вершин квадрата, если ОК = b.
К
В
КО ( АВС ) КО ОВ
b
С
O
А
a
По опр.
a
D

13.

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая
перпендикулярна к этой плоскости.
а
а1
Дано: a║а1;
a ┴
Доказать: a1 ┴
Доказательство:
x
х
Так как a ┴
Значит по лемме а1 ┴ х
, то a ┴ х.
=> a1 ┴

14.

Теорема: Если две прямые перпендикулярны к
плоскости, то они параллельны.
Дано: a┴ b┴
M
c
b b1
a
Доказать: a║b
Доказательство:
Через точку М прямой b
проведем b1║a, => b1┴
Докажем, что b и b1 совпадают
Допустим, что они не совпадают.
Тогда в плоскости через точку М
проходят две прямые ,
перпендикулярные к прямой с
но это невозможно. Значит а║b.

15.

АВС – правильный треугольник. О – его центр, ОМ –
перпендикуляр к плоскости АВС, ОМ = 1. Сторона
треугольника равна 3. Найдите расстояние от точки М до
вершин треугольника.
По опр.
М МО ( АВС ) МО ОВ
1
В
А
3
O
С

16.

Через вершину А треугольника АВС проведена плоскость,
параллельная ВС, ВВ1
и СС1 , СС1=4, АС1= 209
0
АВ1= 33 , ВАС 60 . Найдите ВС.
В
С
4
В1
С1
33
А
209
ВВ1
СС1

17.

Дано: ОМ ( АВС )
Дано: ОМ ( АВС )
АВС –равносторонний
треугольник со стороной 6 3
О – точка пересечения
медиан. Найти расстояние
от точки М до вершин
треугольника.
АВСD – квадрат со
стороной 4, О – точка
пересечения диагоналей.
Найти расстояние от точки
М до вершин квадрата.
М
М
1
2
А
В
В
4
С
4
O
6 3
6 3
С
O
А
4
4
D

18.

№124. Прямая РQ параллельна плоскости . Через точки Р
и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости ,
которые пересекают эту плоскость соответственно в точках
Р1 и Q1. Докажите, что РQ = P1Q1.
Р
Q
РР1
QQ1
PP1IIQQ1
P1
Q1

19.

ABCD – параллелограмм. BE (ABC),
Доказать: (АВЕ) II (СDF)
DF (ABC)
Е
(АВС)
DF
(АВС)
ВЕ II DF
F
В
А
ВЕ
С
D
AB II DC
(ABЕ) II (CDF)

20.

№125. Через точки Р и Q прямой PQ проведены прямые,
перпендикулярные к плоскости
, которые пересекают эту
плоскость соответственно в точках Р1 и Q1. Найдите Р1Q1.
15
Р
33,5
21,5
Q
P1
Q1
По опр.
РР1 РР1 Р1Q1 ,
РР1
QQ1
PP1IIQQ1

21.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Теорема:
Если прямая перпендикулярна к
двум пересекающимся прямым, лежащим в одной
плоскости, то она перпендикулярна к этой
плоскости.
A a
a
P
l
O
q
Q
m
L
p
Дано: a┴q, a┴p, q p =O
q p
Доказать: a ┴
Доказательство:
Проведем через точку О прямую
l║m. Отложим AO=OB (A,B a)
Проведем прямую b пересекающую
прямые l, p,q в точках L, P, Q
AB ┴ q, AB┴ p, AO=OB => q,p
серединные перпендикуляры к АВ
∆ABQ=∆BPQ (AP=PB, AQ=QB, PQ-общ) =>└APL=└BPQ
B
∆ABL=∆BPL (AP=PB, └APL=└BPQ,PL-общ)=>AL=BL
(l┴a, m║l)=>m┴a=>a┴
(AO=OB,AL=BL)=> l┴AB=>l┴a

22.

Теорема о прямой,
перпендикулярной к плоскости.
Через любую точку пространства проходит прямая,
перпендикулярная к данной плоскости, и при том
только одна.
.M
Дано: M,
Доказать: M с, c┴
Доказательство:
c
Проведем в плоскости прямую
а и рассмотрим плоскость
b
М
a
┴а.
∩ =b
В плоскости проведем прямую с┴b
с- искомая прямая
Предположим, что через точку М
проходит еще одна прямая с1 ┴
Тогда с1║ с, это невозможно, так как с1∩ с = М