Лекция_6_формулы_08.10.2024

1. Лекция №6 Разработка программного обеспечения для моделирования физических процессов

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого
Лекция №6
Разработка программного обеспечения
для моделирования физических
процессов
Воскобойников С.П.
Доцент ВШ ПИ ИКНК, к.ф.-м.н.
voskob_sp@spbstu.ru
08.10.2024

2. Содержание

• Метод частных решений для создания
тестовых задач
• О выборе частных решений для
создания тестовых задач
• Понятие о методе коллокаций
• Понятие о методе Галёркина
• Понятие о методе конечных элементов

3. Метод частных решений для создания тестовых задач

d
du x
k x
q x u x f x ,
dx
dx
0 C1 k x C2 ,
u x x a 1
u x x b 2
a, b
k * x 0
u* x
x a, b
q* x 0
d * du * x *
q x u * x ,
f x k x
dx
dx
*
краевые условия первого рода
2* u* x x b
1* u* x x a
d
du x *
*
k * x
q x u x f x ,
dx
dx
u x x a *1
u x x b *2
u x u* x
x a, b

4. Метод частных решений для создания тестовых задач

u* x 1,
a 0,
q* x 1
k * x 1,
d
du * x *
q x u * x 1
f * x k * x
dx
dx
1* u* x x 0 1
d 2u x
u
x
1,
2
dx
u x x 0 1
u x 1,
2* u* x x 2 1
x 0,2
u x x 2 1
u x u* x
b 2,

5. Метод частных решений для создания тестовых задач

u* x 2 x 1,
a 0,
k * x x 1,
b 4,
q* x 3 x 1
d * du * x *
q x u * x 1 5 x 6 x 2
f x k x
dx
dx
*
2* u* x x 4 9
1* u* x x 0 1
d
du x
2
x 1
3x 1 u x 1 5 x 6 x ,
dx
dx
x 0,4
u x x 0 1
u x x 4 9
u x 2 x 1

6. Метод частных решений для создания тестовых задач

d
du x
k x
q x u x f x ,
dx
dx
x a, b
Краевые условия третьего рода
k x
du x
1u x x a 1 ,
dx x a
u x
k x
1 0,
2 0
q* x 0
k * x 0
a, b
*
du x
2u x x b 2 ,
dx x b
d * du * x *
q x u * x ,
f x k x
dx
dx
*
1* 0
0
*
1
du* x
k x
1*u* x
dx x a
*
1
du* x
k x
2*u* x
dx x b
*
2
*
x a
*
x b

7. Метод частных решений для создания тестовых задач

u* x 2 x 1,
a 0,
b 4,
k * x x 1,
q* x 3 x 1
d * du * x *
q x u * x 1 5 x 6 x 2
f x k x
dx
dx
*
1* 1
2* 2
du * x
*
*
1 k x
1*u * x
dx x 0
du * x
k x
2*u * x
dx x 4
*
2
1
x 0
d
du x
2
x 1
3x 1 u x 1 5 x 6 x ,
dx
dx
x 1 du x
dx
x 0
u x x 0 1,
x 1
u x 2 x 1
28
*
x 0,4
du x
2u x x 4 28
dx x 4
x 4

8. Метод частных решений для создания тестовых задач

1 d
du r
n r n k r
q r u r f r ,
dr
r dr
r 0, R
0 C1 k r C2 ,
n 1 одномерный случай цилиндрическая системы координат
n 2 одномерный случай сферической системы координат
u r 0 ограничено
Краевые условия первого рода
u r r R
Краевое условие второго рода
k r
du r
,
dr r R
0
Краевое условие третьего рода
k r
u r 0 ограничено k r
du r
u r r R ,
dr r R
du r
0
dr r 0
0

9. Метод частных решений для создания тестовых задач

n 1
R 2,
u* r r 2
k * r 2r 1
q* r r
1 d * du * r *
*
f r
rk r dr q r u r ,
r
dr
*
f * r 4 12r r 3
* 2
du * r
k r
*u * r
dr r 2
*
28,
*
r 2
1 d
du r
3
r 2r 1
ru r 4 12r r ,
dr
r dr
2r 1
u r 0 ограничено
u r r 2
du r
2u r r 2 28,
dr r 2

10. О выборе частных решений для создания тестовых задач

d du
d 4u 1 dk d 3u 1 d 2 k d 2u 1 d 3k du
3 1
i h f k qu h k 4
O h4
3
2
2
3
dx dx
6 dx dx 8 dx dx
24 dx dx x x
x xi
12 dx
i
k x
du x
1u x x a 1 ,
dx x a
d du
dui
1ui 1
h f k qu
dx dx
dx
x xi
x xi
i h 0 ki
1 d 3ui 1 dki d 2ui 1 d 2 ki dui
h ki 3
O h3 ,
2
2
4 dx dx
8 dx dx x x
6 dx
i
2
i 0

11. О выборе частных решений для создания тестовых задач

4
n
d n ~ du n
1 d r n k d 3u 1 d 2 r n k d 2u 1 d 3 r n k du
3 1
n d u
i h r f r k k
O h4
r qu h r k 4
3
2
2
3
dr
dr
6 dr dr
8 dr
dr
24 dr
dr r r
dr
r ri
12
i
Краевое условие третьего рода
k r
du r
u r r R ,
dr r R
i h 0 r n u r n k
0
n
du
d n du ~
h
r
f
r
k
q
u
r
dr r ri
dr
dr
r r
i
1 n d 3u 1 d r n k d 2u 1 d 2 r n k du
3
h r k 3
O
h
, i N
2
2
6
dr
4
dr
dr
8
dr
dr
r ri
2

12. О выборе частных решений для создания тестовых задач

u r 0 ограничено k r
i r
du
0
dr r 0
d 2ui dki dui
dui
h ri n 1 / 2
k
0
f
n
1
k
q
u
i
i
i i
2
dr
2 n 1
dr dr
dr
n
i 1 / 2 i
1 d 3ui 1 dki d 2ui 1 d 2 ki dui
3
ri 1/ 2 h ki 3
O
h
, i 0
2
2
4 dr dr
8 dr dr
6 dr
n
2

13. Понятие о методе коллокаций

d
du x
k x
q x u x f x ,
dx
dx
x a, b
0 C1 k x C2 ,
Однородные краевые условия первого рода
u x x a 0, u x x b 0
N
v( x) j j x ,
j 0
j x л.н.з. на a, b
j a 0, j b 0
x0 x1 ... xN
j x С 2 a, b
xi a, b
d
dv x
r ( x) f x k x
q
x
v
x
,
dx
dx
d
d j x
q x j x ,
r ( x) f x j k x
dx
dx
j 0
N

14. Понятие о методе коллокаций

d
du x
k x
q x u x f x ,
dx
dx
x a, b
0 C1 k x C2 ,
Однородные краевые условия первого рода
u x x a 0, u x x b 0
N
v( x) j j x ,
j 0
j x л.н.з. на a, b
j a 0, j b 0
x0 x1 ... xN
j x С 2 a, b
xi a, b
d
dv x
r ( x) f x k x
q
x
v
x
,
dx
dx
d
d j x
q x j x ,
r ( x) f x j k x
dx
dx
j 0
N

15. Понятие о методе коллокаций

r ( xi ) 0, i 0,1,..., N
A f ,
,
A N 1 N 1 , , f R ( N 1)
d
d j x
q x j x , i 0,1,..., N ; j 0,1,..., N ,
ai , j k x
dx
dx
x xi
fi f xi

16. Понятие о методе Галёркина

b
r ( x) x dx,
i
i 0,1,..., N
a
A g ,
,
,
A N 1 N 1 , , g R( N 1)
d
d j x
q x j x i x dx, i 0,1,..., N ;
ai , j k x
dx
dx
a
b
b
gi f x i x dx
a
j 0,1,..., N ,

17. Понятие о методе конечных элементов

,
,

18. Понятие о методе конечных элементов

b
r ( x) x dx,
i
i 0,1,..., N
a
A g ,
,
,
A N 1 N 1 , , g R( N 1)
d
d x
ai , j k x j q x j x i x dx
dx
dx
a
b
d j x
b
d j x d i x
k x
i x k x
dx q x j x i x dx
dx
dx
dx
a
a
x a
b
b
d j x d i x
k x
dx q x j x i x dx
dx
dx
a
a
x b
b
b
gi f x i x dx
a