Решение инженерных задач на ЭВМ. Лекция 4

1.

2.

ФОРМУЛИРОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ
УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Краевые
задачи
для
уравнений математической
физики подразделяются на
ДИНАМИЧЕСКИЕ
СТАЦИОНАРНЫЕ
Динамические КЗ формулируются для уравнений
гиперболического и параболического типов.
В этих КЗ обязательно заданы начальные условия,
условия т.е.
значения функции и ее производных в начальный момент
времени t =0, а также значения функции и ее производных
на краях области, т.е. краевые условия

3.

Например, для КЗ колебания растянутой струны условие
будет записано так:
2
д 2U
д
U
2
a
2
дx
дt 2
U t = 0 = f(x); дU
дt
U
×= 0
=0;
U
x [ a, b]
t=0
= F(x)
×=l
(4.1)
начальные условия
=
краевые условия
0
Если рассматривать
колебания бесконечно длинной струны,
то краевые условия выполняются автоматически,
т.е. при x U ≡ 0 и динамическая задача становится
задачей Коши (т.е. задачей с начальными условиями).
2
д 2U
д
U
2
a
2
дx
дt 2
U t = 0 = f(x); дU
дt
x [ a , b]
t=0
= F(x)
(4.2)
начальные условия

4.

СТАЦИОНАРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
формулируются для эллиптических уравнений
В зависимости от вида краевых условий
стационарные КЗ подразделяются на 3 класса.
Покажем на примере уравнения Лапласа
формулировку всех КЗ для двумерной области (для
других областей – формулировка аналогична).
y
G
Г
Рассмотрим
некоторую
двумерную область G с
граничным контуром Г
x

5.

Первая краевая задача (Дирихле)
Искомая функция U = U(x,y) внутри
области G
удовлетворяет ДУ Лапласа, а на контуре Г совпадает с
заданной функцией f(x,y)
U 0
краевое условие Дирихле
U
Г
= f(x,y)
(4.3)
Вторая краевая задача (Неймана)
Искомая функция U = U(x,y) внутри
области G
удовлетворяет ДУ Лапласа, а на контуре Г нормальная
производная
совпадает с заданной функцией φ(x,y)
дU
n
дn
n
краевое условие Неймана
U 0
дU
дn
Г
= φ (x,y)
(4.4)

6.

3. Третья краевая задача (смешанная)
Искомая функция U = U(x,y) внутри области G
удовлетворяет ДУ Лапласа, а на контуре Г комбинация
искомой функции и нормальной производной совпадает с
заданной функцией ψ (x,y)
U 0
(
дU
αU +
дn
(4.5)
)
Г
= ψ (x,y)
Покажем на примере формулировку трех типов краевых
задач.

7.

Первая краевая задача (Дирихле)
Пусть задана прямоугольная пластинка, находящаяся под
действием температуры Т на контуре
y
U 0
U Г = f(x,y)
T = f2(x) U=U(x,y)
2
T=0
3
1
T=0 b
4
x
T = f4(x)
a
Краевые
Дирихле
1. U x = 0 = 0
U 0
- основное уравнение,
где U = U(x,y) – функция,
описывающая
изменение
температуры точек пластинки.
условия
2. U
0≤ y≤ b
3. U
x=a
0≤ y≤b
=0
0≤x≤a
y
= f2(x)
(4.6)
=b
4. U
0≤x≤a
y
=0
= f4(x)

8.

Вторая краевая задача (Неймана)
Пусть задана прямоугольная пластинка, находящаяся под
действием теплового потока на контуре
y
Тепловой поток q – производная
q = φ (x) U=U(x,y)
2
äU
температуры U
2
q=0
3
1
q
q =0 b
4
än
Если грань теплоизолирована, то
теплообмен отсутствует, т.е. q = 0
Краевые
условия
Неймана
U
1. U x = 0 = 0
2.
= φ2(x)
0≤x≤a
y
x 0 ≤ y ≤ b
y
=b
(4.7)
3. U x = a = 0
4. U 0 ≤ x ≤ a = φ4(x)
x 0 ≤ y ≤ b
y
y
q = φ4(x)
a
x
=0

9.

Третья краевая задача (смешанная)
На контуре прямоугольной пластинки заданы температура и
тепловой поток
y
На гранях № 1 и 3 – краевые
Т = ψ (x) U=U(x,y)
условия Неймана
2
2
q =0
q =0 b
3
1
4
x
Т = ψ4(x)
a
На гранях № 2 и 4 – краевые
условия Дирихле
Краевые условия смешанной
КЗ
1. U
x
x=0
=0
2. U
0≤ y≤ b
0≤x≤a
y
= ψ2(x)
(4.8)
=b
3. U
x
x=a
=0
0≤ y≤b
4. U
0≤x≤a
y
=0
= ψ4(x)

10.

Собственно - смешанная краевая задача
Краевые условия могут иметь точку раздела в пределах грани
На гранях № 1 и 3 –
y Т = f (x) q =0
краевые
условия
На
грани
№
4
–
c
2
Неймана
q =0 b
3
1
краевое
q =0
2
условие Дирихле
На грани № 2 – краевые
Т = f (x)
x
a
U=U(x, y)
условия Дирихле и Неймана
Краевые условия смешанной
КЗ
2. U 0 ≤ x ≤ c = f2(x)
1. U x = 0 = 0
y
x 0 ≤ y ≤ b
U = b
=0
с≤x≤а
x
y
(4.9)
4. U 0 =≤ bx ≤ a = f4(x)
3. U x = a = 0
4
4
x
0≤ y≤b
y
=0

11.

К собственно – смешанным задачам относятся
контактные задачи Теории упругости, которые являются
механическими моделями инженерных задач при расчете
фундаментов.
x
Например, задача о
вдавливании
абсолютно
жесткого штампа в упругое
подпространство.
y
Стационарные задачи, связанные с уравнениями
эллиптического типа, являются наиболее важными,
т.к. с ними связаны расчеты на прочность и
устойчивость конструкций.

12.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Для многочисленных задач МФ не существует
универсального метода, пригодного для всех задач.
В курсах уравнений МФ изложен ряд методов,
позволяющих для некоторых классов задач найти точное
решение: метод распространяющихся волн, метод
разделения переменных, метод функций источника и др.
Однако точные методы применимы в основном к
линейным задачам в областях простой формы
(прямоугольник, круг и т.п.), когда дифференциальное
уравнение и краевые условия линейны относительно
U(x,y) и ее производных.

13.

14.

Задачи для нелинейных
уравнений с коэффициентами
достаточно общего вида
Задачи для линейных
уравнений, но в областях
сложной формы
редко удается решить классическими методами.
Основным способом решения таких задач являются
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Среди них чаще всего применяют разностные методы,
благодаря их универсальности и наличию хорошо
разработанной теории.
МЕТОД СЕТОК – обобщение Метода конечных
разностей для случая многих неизвестных.

15.

МЕТОД
АЛГОРИТМ
РЕАЛИЗАЦИИ
СЕТОК
МЕТОДА
1. Для применения этого разностного метода в области
изменения функции U(x,y) вводят математическую сетку.
2. Все производные, входящие в ДУ и краевые условия,
заменяют разностями значений функции U(x,y) в узлах
сетки.
3. Получающиеся при этом алгебраические уравнения
называют разностной схемой.
4. Решая полученную алгебраическую систему, находят
приближенное (разностное) решение в узлах сетки

16.

Рассмотрим применение метода сеток для решения краевой
задачи Дирихле в случае уравнения Пуассона
(плоский случай).
y
Г
U f ( x, y )
U Г = ψ(x,y)
G
(5.1)
(5.2)
x
Требуется найти функцию U(x,y) внутри некоторой
области G удовлетворяющей уравнению Пуассона, а на
границе Г - краевому условию Дирихле
Предполагается, что среда сплошная и искомое решение
U = U(x,y) не имеет особенностей.

17.

ИДЕЯ МЕТОДА СЕТОК
1. В плоской области G строится сеточная область GК , состоящая
из одинаковых прямоугольных ячеек и приближающая данную
Сетка строится путем проведения системы
область.
равноотстоящих линий
y
xi = x0 +i ∙h,
yk = y0 +k ∙l,
Г
G
i = 0, 1, …, n
k = 0, 1, …, m
Конфигурацию узлов
называют шаблоном.
Шаблон может прямоугольным, квадратным, треугольным.
Узлы сетки принадлежат области G или отстоят на
расстояние, не превышающее h.
От выбора основного размера ячеек зависит точность решения.
Рассмотрим частный случай квадратной ячейки h = l.
x

18.

y
Г
G
h
Узлы называются соседними,
если отстоят друг от друга на
расстоянии h.
Sh – множество всех
узлов сеточной области.
Вh – множество
внутренних узлов
h
x
сеточной области.
Внутренние узлы - узлы, принадлежащие области G, а все
четыре соседние – множеству Sh.
В противном случае – узел граничный.
Граничный узел 1-го рода – имеет в качестве соседнего
внутренний узел.
Граничные узлы 1-го рода образуют множество узлов Гh
Граничный узел 2-го рода – не соседствует с внутренними
узлами.

19.

y
Gk
Вh
h
h
Гh
x
Внутренние узлы и граничные узлы 1-го рода образуют множество
расчетных узлов Rh сеточной области GК
Rh = Вh +
2. В качестве основных
Гh неизвестных выбираются значения
искомой функции в узлах сетки
Ui k = U(xi, yk ) ,
i = 0, 1, ... n , k = 0, 1, ... m.

20.

i, k+1
i -1 , k
i, k
i, k-1
Рассмотрим внутренний узел области G.
В каждом узле можно
i+1, k использовать конечно-разностные
уравнения, обобщив их на случай
частных производных
U i 1,k U i 1,k
äU
;
2h
äx i ,k
U i ,k 1 U i ,k 1
дU
2l
дy i ,k
ä 2U
2
äx
U i 1,k 2U i ,k U i 1,k
;
2
h
i ,k
д 2U
2
дy
U i ,k 1 2U i ,k U i ,k 1
2
l
i ,k
(5.3)
(5.4)

21.

Для каждой внутренней точки области G, т.е. для каждого
внутреннего узла множества Вh, рассмотрим уравнение (5.1)
используя конечно – разностные уравнения2 (5.4) 2
Для уравнения Пуассона ΔU = f(x , y) илиä U ä U
2 f ( x, y )
2
äx
äy
U i 1,k 2U i ,k U i 1,k U i ,k 1 2U i ,k U i ,k 1
(5.
= fi , k
2
2
h
h
5)
где fi , k = f(xi , yk ), i = 1, … n -1 , k = 1, ... m -1.
На основании краевых условий (5.2) устанавливаются
значения искомого решения в граничных узлах области GК.
В граничных узлах 1-го рода
(5.
6)
где С – ближайшая к Гh точка контура Г области G.
U (Гh ) = ψ (С ),

22.

3. Получим СЛАУ (5.5) – (5.6) относительно
неизвестных Ui k
Система уравнений (5.5) и (5.6) всегда совместна,
когда речь идет о решении задачи Дирихле.
Количество уравнений полученной СЛАУ равно
числу внутренних узлов сетки
Вh сеточной
области GК .
Количество неизвестных
СЛАУ
равно числу расчетных узлов Rh
Rh = Вh +
сеточной области GК (внутренние
Гh
узлы + граничные узлы 1-го рода)
Лишние неизвестные (Гh ) в системе (5.5) исключаются
с помощью краевых условий (5.6).
4. Решив полученную систему уравнений, определяем
приближенные значения искомой функции в узлах
сеточной области GК.

23.

Самостоятельно:
Записать преобразованные с помощью конечно-разностных
выражений:
уравнения Пуассона и Лапласа,
для сетки с прямоугольной (l = h) и квадратной (l = h)
ячейкой.

24.

y
b=3 h=1
03
13
23
33
43
02
12
22
32
42
01
11
21
31
41
00
10
20
30
40
h=1
a =4
x

25.

y
24
b=4
11
10
23
22
1
2
3
4
13
14
15
5
6
7
8
9
12
16
h=1
h=1
21
20
19
a =6
18
17
P(x,y)
x
y
x
U(x,y)

26.

y
b=2
02
12
22
32
42
01
11
21
31
41
00
10
20
30
40
x
a =4