127586

1. Лекция 1 Производная и ее применения Лекции 36 часов (18 шт) Практики 88 часов (44 шт)

2.

Определение. Производной функции y=f(x),
заданной на некотором интервале (a;b), в точке х
этого интервала, называют предел отношения
приращения функции в этой точке к
соответствующему приращению аргумента,
когда приращение аргумента стремится к нулю.
Производную функции f(x) обозначают f '(x) и
говорят: «эф штрих от икс». Следовательно,
f
f ( x) lim
x x

3. Алгоритм нахождения производной (для функции y=f(x)).

Зафиксировать значение х, найти f(x).
Дать аргументу х приращение ∆х, перейти в
новую точку х+∆х, найти f(x+∆x).
Найти приращение функции: ∆у=f(x+∆x)–f(x).
у
Составим отношения
.
x
f
Вычислить lim x
x
Этот предел и есть f '(x).

4. Пример. Найти производную функции у=2х+3 в точке х=3

у (3) 2 3 3 9
f ( x x) 2 (3 x) 3 2 x 9
y y (3 x) y (3) 2 x
y 2 x
2
x x
f
2
lim
x x
у (3) = 2

5. Физический смысл производной

Если при прямолинейном движении путь s,
пройденной точкой, есть функция от времени t,
т.е. s=f(t), то скорость точки есть производная от
пути по времени, т.е. v(t)=f '(t), этот факт
выражает механический смысл производной.

6. пример

Тело движется по прямой так, что расстояние S (в
метрах) от него до точки В этой прямой изменяется
по закону S (t ) 2t 12t 3(t – время движения в
секундах). Через сколько секунд после начала
движения ускорение тела будет равно 36 м/ с 2 ?
Решение. Из механического смысла производной
имеем скорость – это производная пути по времени.
Скорость изменяется по закону v(t ) S (t ) 6t 24t . Так
как ускорение – это производная скорости по
времени, то ускорение изменяется по закону
a(t ) v (t ) 12t 24 , с другой стороны ускорение равно
2
с
36 м/ . Решим уравнение 12t 24 36
, t=5 c.
Ответ: через 5 секунд.
3
2
2

7. Геометрический смысл производной

Если в точке х 0 к графику функции y=f(x)
проведена касательная, то число f '( х0) есть
тангенс угла альфа между этой касательной и
положительным направлением оси ОХ, т.е.
f '( х 0)=tgα. Этот угол называю углом наклона
касательной. Этот факт выражает
геометрический смысл производной.

8. Пример

На рисунке изображен график функции y=f(x)
и касательная к нему в точке с абсциссой х .
Найдите значение производной функции f(x)
0
в точке х 0 .
Рис.1

9. Решение.

Значение производной f(x) в точке х 0 есть
значение тангенса угла, образованного
касательной к графику функции с
положительным направлением оси ОХ. Из
треугольника АВС (рис.1).
tga tg ( CAB)
Ответ: 1,75.
CB 7
1,75
AB 4

10. Вычисление производных

Формулами дифференцирования обычно
называют формулы для нахождения
производных конкретных функций.

11. Таблица производных

C 0
x 1
Таблица производных
(ln x)
( x n ) n x n 1
( x )
1
2 x
1
1
2
x
x
(sin x) cos x
(cos x) sin x
1
cos 2 x
1
(ctgx) 2
sin x
arcsin x 1 2 , x 1
1 x
1
(arccos x)
, x 1
2
1 x
1
(arctgx)
1 x2
1
(arcctgx)
1 x2
(tgx)
1
x
(log a x)
1
x ln a
(e x ) e x
(a x ) a x ln a

12. Правила дифференцирования

Теорема 1.
Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют
производную в точке x, то и их сумма имеет
производную в точке x, причем производная
суммы равна сумме производных:
( f ( x) g ( x)) f x g ( x)

13. Теорема 2

Если функция y=f(x) имеет производную в точке
х, то и функция y=kf(x) имеет производную в
точке х, причем
kf x kf x

14. Теорема 3

. Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют
производную в точке x, то и их произведение
имеет производную в точке x, причем
( f ( x) g ( x)) f x g ( x) f ( x) g ( x)

15. Теорема 4

Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную
в точке x и в этой точке g(x) ≠0,
то функция
y
f x
g x
имеет производную в точке х, причем
f x
f x g x f x g x
g 2 ( x)
g x

16. Теорема 5

Если функция f имеет производную в точке
х0
а функция g имеет производную в точке y0 f x0 ,
то сложная функция h x g f x также имеет
производную в точке х0 , причем
h x0 g f x0 f x0

17.

Примеры. Найти
производные функций
.
Решения
1.
f x x 3 x 4 ;
1.
f x 3x3 1 4 x 4 1 3x 2 4 x3 .
2.
f x 3x 3 2 x 2 ;
2.
f x 3 3x3 1 2 2 x 2 1 9 x 2 4 x.
3.
f x x 2 x 3 x ;
3.
f x
x 2x x x 2x x 2 1 x 2x x x 2 3x 1
3
3
3 1
3
2 x3 x
x 6x2 1 .
2 x
4.
2x2 4
f x
;
5x 8
4.
2 x 4 5 x 8 2 x 4 5 x 8
4 x 5 x 8 2 x 4 5
f x
2
2
5x 8 2
2
5x 8 2
20 x 2 32 x 10 x 2 20 10 x 2 32 x 20
.
5x 8 2
5x 8 2
5.
f x 8 x 4 ;
3
2
2
2
5. f x 3 8 x 4 8 x 4 3 8 x 4 8 24 8 x 4 .