Лекция 1 Погрешность в приближенных вычислениях

1. Погрешность в приближенных вычислениях

Погрешность задачи, погрешность метода, неустранимая и
устранимая погрешности. Погрешность округления. Абсолютная,
относительная, предельная погрешности. Оценивание погрешности:
прямая и обратная задачи теории погрешности. Статистический и
технический подходы к учету погрешности. Погрешности машинной
арифметики. Понятие устойчивых и неустойчивых задач и методов.
БЕЗБОРОДНИКОВА Р.М.

2. Введение в численные методы

Численные методы (вычислительные методы, методы вычислений) –
раздел вычислительной математики, изучающий приближенные
способы решения типовых математических задач, которые либо не
решаются, либо трудно решаются точными аналитическими методами.
Примерами типовых задач являются численное решение уравнений,
численные дифференцирование и интегрирование и др.

3. Элементарная теория погрешностей

4. Источники и классификация погрешностей

Погрешность задачи
Погрешность метода
Погрешность округлений
∑Полная погрешность результата решения задачи

5. Абсолютная и относительная погрешности

Для оценки погрешности вводятся понятия абсолютной и
относительной погрешности.
Пусть х — точное значение некоторой величины, а — приближенное
значение той же величины (а ≈ х).
Абсолютная погрешность приближенного числа а определяется как
- предельная абсолютная погрешность, определяемая из
условия:

6. Абсолютная и относительная погрешности

Относительная погрешность
Предельная относительная погрешность

7. Абсолютная и относительная погрешности

8. Верные и значащие цифры

Если абсолютная погрешность приближенного числа не превышает единицы
последнего (самого правого) разряда его десятичной записи, то цифры числа
называют верными (или точными).
Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры его
десятичной записи, кроме нулей, находящихся левее первой отличной
от нуля цифры.

9. Действия с приближенными числами

Правило сложения и вычитания приближенных чисел
1) выделить наименее точное число (или числа), т. е. такое, в десятичной записи
которого наименьшее число верных десятичных знаков;
2) округлить остальные числа так, чтобы каждое из них содержало на один (запасной)
знак больше, чем выделенное число;
3) выполнить сложение и вычитание с учетом сохраненных знаков;
4) полученный результат округлить до предпоследнего знака.

10. Действия с приближенными числами

Правило умножения и деления приближенных чисел:
1) из всех чисел, которые предстоит умножать и делить, выделить наименее
точное — то, в котором меньше всего верных значащих цифр;
2) округлить остальные числа так, чтобы каждое из них содержало на одну
(запасную) значащую цифру больше, чем выделенное число;
3) выполнить умножение и деление округленных чисел с учетом сохраненных
значащих цифр;
4) оставить в ответе столько значащих цифр, сколько их было в наименее точном
числе

11. Прямая задача теории погрешностей

Пусть задана дифференцируемая функция у=f(х1, х2, ,хn) и
пусть ∆xi* – абсолютные погрешности аргументов;
xi* – приближенные значения xi.
Тогда абсолютная погрешность функции:
*
*
*
f
(
x
,
x
,...,
x
*
*
1
2
n)
y y y
xi*
xi
i 1
n
(формула Лагранжа)

12. Прямая задача теории погрешностей

Тогда относительная погрешность:
*
*
y
ln( y ) xi
i 1 xi
n
*
или
*
*
y x
ln( y ) xi
xi
i 1
n
*
*
i

13. Прямая задача теории погрешностей

Пример. Найти абсолютную и относительную погрешности объема шара R = 3 ± 0,05
см, π = 3,14 + 0,002. Объем шара равен V = 4πR3/3.
Решение:
∂V/∂π = 4R3/3 = 36,0; ∂V/∂R =4π R2 = 113,0;
ΔV = ∂V/∂π Δπ + ∂V/∂R ΔR = 36⋅0,002 +113⋅0,05 ≈ 5,7 см3 .
Поэтому V = 4 ⋅3,14 ⋅ 27 / 3 = 113 ± 5,7 см3 , δV = 5,7 /113 ≈ 0,05 ≈ 5%.

14. Погрешность суммы

Пусть y = x1 + x2 + x3 + …+xi + xn известны xi*, ∆xi* , δxi* .
Определить y* и y*.
n
Абсолютная погрешность результата:
y* x
*
i
i 1
при n>10 пользуются формулой Чеботарева
x* 3 n xi*
*
x
y* i* xi*
i 1 y
n
Относительная погрешность результата:

15. Погрешность вычитания

Формулы определения абсолютной и относительной погрешности аналогичны
формулам суммы.
При выполнении вычитания двух близких по величине чисел может произойти
большая потеря точности.
Например. Найти разность чисел x1 = 1,27569, x2 = 1,27531. Известно, что у этих
чисел четыре знака верные, значит, x1 = x2 = 0.0005.
Разность y = x1 − x2 = 0,00038
x = x1 + x2 = 0.001 > 0.5 10-4(для цифры 3) не имеет ни одного верного знака.
Выходом из такой ситуации является: избежать вычитание, если это возможно
или увеличить точность.

16. Погрешность произведения

Пусть y = x1 · x2 · x3 · … · xi · xn известны xi*, ∆xi* , δxi* . Определить y* и y*.
Получаем:
*
x
y* y* *i
i 1 xi
n
n
y x
*
i 1
*
i

17. Погрешность частного

Пусть y = x1 / x2 , x1 , x2>0 известны xi*, ∆xi* , δxi* . Определить y* и y*.
Получаем:
y
*
x x x x
*
1
*
2
x
* 2
2
y x x
*
*
1
*
2
*
2
*
1

18. Обратная задача теории погрешностей

Обратная задача теории погрешностей решает вопрос о том, каковы должны
быть погрешности аргументов функции, чтобы абсолютная погрешность функции
не превышала заданной величины.
Эта задача математически не определена, поскольку решение можно обеспечить,
по-разному устанавливая погрешности аргументов.

19. Обратная задача теории погрешностей

Простейшее решение обратной задачи дается принципом равных влияний.
Согласно этому принципу предполагается, что все слагаемые
y
xi
xi*
равны между собой.
Тогда абсолютные погрешности аргументов определяются формулой
*
y
xi*
n y xi

20. Обратная задача теории погрешностей

Пример. Радиус основания конуса R ≈ 2 м , его высота
H ≈ 3 м . С какими абсолютными погрешностями нужно определить R, H, чтобы
его объем можно было вычислить с точностью до 0,1 м3?
Решение:
Объем конуса равен V = πR2H/3, ΔV = 0,1 м3. Объем конуса зависит от трех
аргументов: π, R, H.
Вычисляем частные производные:
∂V / ∂π = R2H /3 = 4; ∂V/∂R = 2πRH/3 =12,6;
∂V / ∂H =π R2 /3 = 4,19,
отсюда при помощи формулы при n = 3 получаем :
0.1
0.1
0.1
0.0083, R
0.0026 м, H
0.008 м
3 4
3 12.6
3 4.19

21. Статистический и технический подходы к учету погрешности действий

При больших количествах однотипных вычислений вступают в силу
вероятностные законы формирования погрешностей результатов
действий.
Если n>10 и все слагаемые округлены до m-го десятичного разряда, то
для подсчета абсолютной погрешности суммы S применяют правило
Чеботарева:
S 3n 0,5 10 m

22. Технический подход Крылова

Согласно принципу А.Н. Крылова, приближенное число должно
закрываться так, чтобы все в нем значащие цифры, кроме
последней, были верными и лишь последняя была бы
сомнительна, и притом в среднем (в вероятностном смысле) не
более чем на одну единицу.

23. Понятия о погрешностях машинной арифметики

Вещественные числа в компьютере представляются с
фиксированной и плавающей запятой (точкой).

24. Понятия о погрешностях машинной арифметики

Абсолютная точность представления вещественных чисел с
фиксированной запятой одинакова в любой части диапазона.
Относительная точность может различаться в зависимости от
параметра а.

25. Форма представления вещественного числа в системе записи с плавающей запятой

26. Понятия о погрешностях машинной арифметики

Машинный нуль и машинная бесконечность:
Машинный эпсилон, служащий мерой относительной точности
представления вещественных числе является:
Оценка абсолютной погрешности:

27. Примеры устойчивых и неустойчивых задач и методов

Разобрать самостоятельно