Объём шара, шарового сегмента и сектора

1. ОБЪЁМ ШАРА, ШАРОВОГО СЕГМЕНТА И СЕКТОРА

2. Объём шара

Общая формула для объёмов тел
вращения:
a
V = ∫ S(x) dx
b
a
V = ∫ π f 2(x) dx
b

3. Объём шара

ЫЫ
A(R; 0), B(-R;0), х2 +у2 = R2
Проведем плоскость, перпендикулярную
оси ох.
Чем является соответствующее сечение шара?
Обозначим площадь сечения S(х)
S(х) = πr2
Из прямоугольного треугольника ОМС:
r (х) =√ОС2 – ОМ2= √R2 - х2 ,
-R< x ≤R
b
R
R
V = ∫ S(x) dx= ∫ π r2 (x) dx= π ∫(R2 - х2) dx=
a
-R
= π (R2х –x3/3)
-R
R
-R
=4/3 π R3

4. ШАРОВОЙ СЕГМЕНТ

Определение:
Шаровой сегмент – это часть шара,
отсекаемая от него плоскостью

5. ОБЪЁМ ШАРОВОГО СЕГМЕНТА

b
R
R
a
R-Н
R-Н
V = ∫ π f 2(x) dx= ∫ π f 2(x) dx= π ∫(R2 – х2) dx=
= π (R2х –x3/3)
R
= πH2 (R – H/3)
R-Н

6. ШАРОВОЙ СЕКТОР

Определение:
Шаровой сектор – это тело, которое
получается из шарового сегмента и
конуса.
Причём, если шаровой сегмент меньше полушара, то
он дополняется конусом, у которого вершина в
центре шара, а основанием является основание
сегмента. А если сегмент больше полушара, то
указанный конус из него удаляется.

7. ШАРОВОЙ СЕКТОР

8. ОБЪЁМ ШАРОВОГО СЕКТОРА

2
2
R H
3

9.

На могиле Архимеда в Сиракузах изображен
цилиндр с вписанным в него шаром. Это символ
открытия формул объема шара и площади сферы
и важного соотношения объемов шара и
цилиндра.
Найдите это отношение.

10.

В шар вписана
правильная
треугольная призма
так, что её высота
вдвое больше стороны
основания. Объем
призмы равен 27/π.
Найти объем шара.

11.

Сторона основания правильной четырехугольной
пирамиды 10√3, а угол между боковой гранью и
плоскостью основания 600. Найти объем
вписанного шара.

12.

В конус, осевое сечение которого равносторонний
треугольник, вписан шар. Найти объем шара, если
объем конуса 27.