Построения сечений многогранников

1.

Лекция 5
Построение сечений
многогранников

2.

§1 ОБОБЩЕННЫЙ АЛГОРИТМ
«Сечением многогранника
плоскостью называется фигура,
состоящая из всех точек, которые
являются общими для
многогранника и секущей
плоскости» (Г.10,2013, с.40).

3.

§1 ОБОБЩЕННЫЙ АЛГОРИТМ
«Если одна из фигур – многогранник,
а вторая – плоскость, то их взаимное
расположение характеризует та часть
многогранника, которая принадлежит
рассматриваемой плоскости, или,
иными словами, сечение
многогранника плоскостью.
Плоскость при этом называют
секущей плоскостью»(Г.10,2020,с.37)

4.

§1 ОБОБЩЕННЫЙ АЛГОРИТМ
Варианты взаимного расположения
многогранника и плоскости :
а) не имеют общих точек;
б) одна общая точка (вершина многогранника);
в) общий отрезок (ребро многогранника);
г) иметь общий многоугольник на поверхности
(грань многогранника);
д) плоский многоугольник при «рассечении»
(вершины - результат пересечения плоскости
и ребер многогранника, стороны - результат
пересечения плоскости и граней).

5.

§1 ОБОБЩЕННЫЙ АЛГОРИТМ
Задачи, в которых сечения строятся без
поиска дополнительных точек, например:

6.

§1 ФОРМИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННОГО АЛГОРИТМА

7.

§1 ОБОБЩЕННЫЙ АЛГОРИТМ
ВЫВОДЫ:
для построения многоугольника
сечения достаточно определить
расположение его вершин,
а для построения стороны сечения
достаточно определить две точки в
плоскости грани.

8. §2 Различные методы построения сечения многогранников плоскостью

1. Метод следов.
2. Метод вспомогательных сечений.
3. Комбинированный метод.
4. Метод параллельных прямых.
5. Метод параллельного переноса секущей плоскости.
6. Метод разделяющей плоскости.
7. Метод параллельных проекций.
8. Метод внутреннего проектирования.
9. Метод деления n-угольной пирамиды (призмы) на
треугольные пирамиды (призмы).
10. Метод дополнения n-угольной призмы (пирамиды) до
треугольной призмы )пирамиды).

9.

§3 Метод следов
При решении задач чаще требуется
поиск дополнительных точек:

10.

§3 Метод следов
Способ построения дополнительных
точек:
1. Выделяется прямая, одновременно
принадлежащая:
- плоскости, в которой отыскивается
вторая точка,
- плоскости, в которой уже задан след
секущей плоскости.
2. Строится точка пересечения
выделенной прямой и уже построенного
следа секущей плоскости.

11.

§3 Метод следов
Последовательность задач:
1. Построить сечение плоскостью,
заданной точкой на поверхности
многогранника и “следом” секущей
плоскости на плоскости какой-либо грани
2. Построить след заданной прямой на
плоскости заданной грани
3. Построить след заданной плоскости на
плоскости заданной грани

12.

§3 Метод следов
Задачи на построение сечений
плоскостью, заданной:
- тремя точками (на ребрах, внутри
граней);
- прямой и точкой;
- условиями параллельности или
перпендикулярности заданным прямой
или плоскости.

13. §3 Метод внутреннего проектирования

Метод основан на том, что
каждая точка многоугольника
сечения имеет образ при
центральном проектировании (из
вершины пирамиды) или
параллельном проектировании
(параллельно боковому ребру
призмы, как правило) на плоскости
основания многогранника.

14. Метод внутреннего проектирования

Если удается найти образ точки
многоугольника сечения, то можно
восстановить прообраз – точку,
принадлежащую плоскости сечения,
которая позволит построить сечение.

15. Метод внутреннего проектирования

Метод используется тогда, когда
метод следов не позволяет найти
точку пересечения в пределах
тетрадного листа (доски).

16. Метод внутреннего проектирования

Точка I принадлежит плоскости грани АСВ

17. Метод внутреннего проектирования

18. Метод внутреннего проектирования

Для построения сечения
достаточно найти дополнительную
точку Х на ребре АС.
Образ этой точки X – точка С!

19. Метод внутреннего проектирования

20. Метод внутреннего проектирования

Находим образы точек F, I, G на
плоскость основания при
центральном проектировании из
вершины пирамиды. Образ прямой
FI – прямая DH, образ прямой GX
(которую мы ищем) – CE

21. Метод внутреннего проектирования

22. Метод внутреннего проектирования

Образы прямых DH и CE
пересекаются в точке J в плоскости
основания.

23. Метод внутреннего проектирования

24. Метод внутреннего проектирования

Точка J имеет прообраз на
прямой FI. В плоскости DАH
строим: FI∩АJ=К.
Так как точка К принадлежит
прямой FI, то она принадлежит
плоскости сечения FGI

25. Метод внутреннего проектирования

26. Метод внутреннего проектирования

В плоскости АСЕ строим
КG∩АС=L, L =X – искомая точка!

27. Метод внутреннего проектирования

28. Метод внутреннего проектирования

Строим LI∩AB=M

29. Метод внутреннего проектирования

30. §4 Метод параллельных прямых

P’
E’
F’
D’
C’
А’
.
K
А
B’
Y
X
Q
T
E
.
B
.
F
P
M
C
D

31. §5 Метод параллельного переноса секущей плоскости

S
. .
.
K
T
A
P
M
R
H
X
E
F
D
Y
C
B

32. §6 Метод разделяющей плоскости

B’
A’
.
D’
M
N
.
E
.
X
P’
B
C’
K
K’
T
Y
P
C
А
F
D
M Є AA’B’B
K Є BCC’B’
P Є DCC’D’

33. §7 Метод дополнения n-угольной призмы (пирамиды) до треугольной призмы (пирамиды)

S
X
K
E
H Y
Q
.
.
T
D
F
A
C
B
P