Аналитическая геометрия в пространстве (прямые, плоскости, поверхности второго порядка)

1. Аналитическая геометрия в пространстве

Курс лекций
Голиков Руслан Юрьевич,
к.т.н., доцент
1

2. Прямые и плоскости в пространстве

2

3. Литература

1.
Хамидуллин Р.Я. Математика: базовый курс: учебник: [16+] / Р.Я. Хамидуллин, Б.Ш.
Гулиян. – 5-е изд., перераб. и доп. – Москва: Университет «Синергия», 2019. – 720 с. –
(Университетская серия). – Режим доступа: по подписке. – URL:
https://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=571501

4. Общее уравнение плоскости

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Всякий ненулевой вектор,
перпендикулярный
некоторой
плоскости,
называется вектором нормали к этой плоскости.
z
r
п
M0(х0,у0,z0)
M(х,у,z)
uuuuur
r
М0 М х х0 у у0 z z0 n пх пу пz А B C
ВЕКТОР НОРМАЛИ К ПЛОСКОСТИ α
у
α
0
ЕСЛИ ВЕКТОРЫ ПРЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ, ТО ИХ СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
РАВНО НУЛЮ:
х
r uuuuur
пgМ 0 М А х х0 В у у0 С z z0 Ах Ву Сz Ах0 Ву0 Сz0
ОБОЗНАЧИМ
КАК D И ПОЛУЧИМ ОЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ:
Ах + Ву + Сz + D = 0.

5. Общее уравнение плоскости

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Общим уравнением плоскости в прямоугольной
декартовой системе координат является уравнение первого порядка вида
Ах + Ву + Сz + D = 0,
где коэффициенты А,В и С одновременно не равны нулю.
ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ:
1. Если А=0, то Ву + Сz D 0 и плоскость параллельна оси Ох
2. Если В=0, то Ах + Сz D 0 и плоскость параллельна оси Оу
3. Если С=0, то Ах + Ву + D 0 и плоскость параллельна оси Оz
4. Если D=0, то Ах Ву Сz 0 и плоскость проходит через начало координат.
5. Если А=C=0, то Ву + D = 0 и плоскость параллельна координатной плоскости Охz
6. Если B=C=0, то Ах + D = 0 и плоскость параллельна координатной плоскости Оуz
7. Если А=В=0, то
Cz + D = 0 и плоскость параллельна координатной плоскости Оху

6. Взаимное положение плоскостей

А х + В у + С z + D =
УСЛОВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ:
А х + В у + С z + D =
А1 В1 С1
А2 В2 С 2
УСЛОВИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ:
А1А2+В1В2+С1С2=0

7. Угол пересечения плоскостей

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ РАВЕН УГЛУ
МЕЖДУ НОРМАЛЯМИ К ЭТИМ ПЛОСКОСТЯМИ
А х + В у + С z + D =
β
НОРМАЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ К ПЛОСКОСТЯМ α И β :
r
r
n1 А1 B1 C1 n2 А2 B2 C2
φ
φ
ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ СЛЕДУЕТ:
α
А х + В у + С z + D =
uur uur
n1 n2
cos uur uur
n1 n2
А А В В С С
А В С А В С
ПОД УГЛОМ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ ПОНИМАЕТСЯ НАИМЕНЬШИЙ, Т.Е. ОСТРЫЙ УГОЛ,
ПОЭТОМУ СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ НОРМАЛИ БЕРЁТСЯ ПО МОДУЛЮ И 0° ≤ φ ≤ 90°:
cos
А А В В С С
arccos
А В С А В С
А В С А В С
А А В В С С

8. Уравнение плоскости в отрезках

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ:
Ах + Ву + Сz + D =
z
А
В
С
D
х+
у+
z+
=
D
D
D
D
обозначим:
4
у
0
х
3
2
х у z
а=
D
D
D
b= с=
А
В
С
х у z
а b с
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
В ОТРЕЗКАХ
a, b и с - абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями координат

9. Взаимное положение плоскостей

ПРИМЕР 1. Определить принадлежность точек А(1;−1;−3) и В(0;2;−8)
плоскости 2х+3у-z-2=0.
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ:
Ах + Ву + Сz + D =
2∙1+3∙(-1)-(-3)-2=2-3+3-2=0 - точка А принадлежит плоскости.
2∙0+3∙2-(-8)-2=6+8-2=12 - точка В не принадлежит плоскости.
ПРИМЕР 2. Определить взаимное положение плоскостей 2х+3у-z-2=0 и 3х+6у-3z+5=0.
- плоскости не параллельны.
2∙3+3∙6+(-1)∙(-3) ≠ 0 - плоскости не перпендикулярны
Угол пересечения плоскостей:
arccos
arccos
arccos

10. Взаимное положение плоскостей

ПРИМЕР 3. Найти точки пересечения с осями координат плоскости 2х+у-z-2=0.
х у z х у z
х у z
х у z
Ох А
Оу В
Оz С

11. Расстояние от точки до плоскости

М0(х0; у0; z0)
d
d
Ах0 Ву0 Сz0 D
А В С
Ах + Ву + Сz + D =
ПРИМЕР 4. Найти расстояние от начала координат до плоскости
D
А D
А
D
D
b= В
В
D
D
с = С
.
С
а=
D А
В
D С .
D
СЛАУ:
А|В:
D А
а1 х1 b
а1
D В а2 х2 b а2
а х b.
а
3 3
3
D
С
.
b
b
b
х у
z
Ранг этой расширенной
матрицы не может быть больше 2.
Если ранг меньше количества
неизвестных, то СЛАУ имеет
бесчисленное множество решений.
Это означает, что по этому общему решению мы можем получить бесчисленное множество коэффициентов
бесчисленного множества совпадающих плоскостей. Для удобства вычислений выберем D=-2:
D
D
А D В
С
.
d
2х+3у-z-2=0.

12. Уравнение плоскости по трем точкам

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ЗАДАННОЙ ПО ТРЕМ ТОЧКАМ:
х - х1
у - у1
z - z1
х 2 - х1
у2 - у1
z 2 - z1
х3 - х1 у3 - у1 z3 - z1
где М1(х1; у1; z1), М2(х2; у2; z2), М3(х3; у3; z3) - заданные точки.
ПРИМЕР 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки:
А(1; 2; -1), В(-1; 0; 4), С(-2; -1; 1).
х -1
у-2
z+1
-1 - 1
0-2
4 - -1 = -2
-2
5
-3
-3
2
-2 - 1 -1 - 2 1 - -1
х -1
у-2 z+1
= х - 1 -4 + 15 - у - 2 -4 + 15 + z + 1 6 - 6
11х 11у 11
11 х - 1 - 11 у - 2 = 11х - 11 - 11у + 22 = 11х - 11у + 11 =
+
= х у +
11 11 11
1-2+1=0 - точка А принадлежит плоскости.
ПРОВЕРКА: -1-0+1=0 - точка В принадлежит плоскости.
плоскость параллельна оси Оz.
-2+1+1=0 - точка С принадлежит плоскости.

13. Уравнение прямой в пространстве

r
a - НАПРАВЛЯЮЩИЙ ВЕКТОР, А(х0; y0; z0) - ЗАДАННАЯ ТОЧКА
uuuur
r
АМ х х0 у у0 z z0 а а х а у аz .
r
a
M(х; у; z)
А(х0 ; y0 ; z0)
l
х х0 а х
х х0 а х
uuuur
r
АМ а у у 0 а у у у 0 а у
z z а .
z z а .
0
z
0
z
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
х х0
ах
х х0 а х
uuuur
r
у у0
х х 0 у у0 z z 0
АМ а у у0 а у
ау
ах
ау
аz
z z а .
0
z
z z0
КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
.
ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
аz

14. Пересечение прямой с плоскостью

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ: Ах + Ву + Сz + D =
х х0 а х
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ: у у а
0
у
z z а .
0
z
λ
А х0 а х + В у0 а у + С z0 а z + D =
Ах0 А а х Ву0 В а у Сz0 С а z + D =
Ах0 Ву0 Сz0 D А а х В а у С а z =
Ах0 Ву0 Сz0 D По вычисленному значению параметра λ и проекциям ах , ау , аz
. направляющего вектора прямой определим координаты точки
А а х В а у С а z ее пересечения с плоскостью.
Если Ах0 Ву0 Сz0 D и А а х В а у С а z - ПРЯМАЯ ПАРАЛЛЕЛЬНА ПЛОСКОСТИ
Если Ах0 Ву0 Сz0 D и А а х В а у С а z - ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ СОВПАДАЮТ

15. Пересечение прямой с плоскостью

ПРИМЕР 6. Определить координаты точки пересечения плоскости 3х+2у-z+4=0 и
х у z
прямой
х0 = 1 у0 = 3 z0 = -2
а х = 2 a y = 4 а z = 3
А = 3 В = 2 С = -1 D = 4
3 1 + 2 3 + -1 -2 + 4
Ах0 Ву0 Сz0 D
3+6+2+4
15
==- .
А а х В а у С аz
3 2 + 2 4 + -1 3
6+8-3
11
11 - 30
19
15
х
=
1
+
2
=
=
-1, 7
11
11
11
х х0 а х
33 - 60
27
15
у
у
а
у
3
+
4
=
=
-2, 5
0
у
11
11
11
z z а
0
z
-22 - 45
67
15
z
-2
+
3
=
=
-6,1
11
11
11
Точка пересечения: М(-1,7; -2,5; -6,1)
ПРОВЕРКА
Принадлежность прямой:
-
19
27
67
-1 - - 3 - + 2
15
11 = 11
= 11
=-
2
4
3
11
Принадлежность плоскости:
-3
19
27 67
-57 - 54 + 67 + 44
- 2
+
+4 =
= 0
11
11 11
11

16. Угол пересечения прямой и плоскости

А(х0; у0; z0)
НОРМАЛЬНЫЙ ВЕКТОР ПЛОСКОСТИ:
НАПРАВЛЯЮЩИЙ ВЕКТОР ПРЯМОЙ:
α φ
ПОД УГЛОМ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ
ПОНИМАЕТСЯ ОСТРЫЙ УГОЛ φ (0° ≤ φ ≤ 90°)
r r
n а
cos r r
n а
sin
2
А а х В a у С аz
А2 В 2 С 2 а х 2 a у 2 а z 2
а
sin sin cos
2
2
sin sin cos
2
2
А а х В a у С аz
А2 В 2 С 2 а х 2 a у 2 а z 2
sin cos
А а х В a у С аz
arcsin
2
2
2
2
2
2
А В С а х a у аz

17. Угол пересечения прямых в пространстве

ПРЯМАЯ 1:
х х1 у у1 z z1
а х1
а у1
аz 1
а2
φ
х х 2 у у2 z z 2
ПРЯМАЯ 2:
.
а х2
а у2
аz 2
а1
УГОЛ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМЫХ РАВЕН УГЛУ МЕЖДУ ИХ НАПРАВЛЯЮЩИМИ ВЕКТОРАМИ :
ur uur
а а
cos ur1 uu2r
а1 а2
а х1 а х2 а у1 а у2 аz1 а z2
arccos
а х 2 а у 2 аz 2 а х 2 а у 2 аz 2
а х1 2 а у1 2 аz1 2 а х2 2 а у2 2 аz2 2
1
1
1
2
2
2
а х1 а х2 а у1 а у2 аz1 аz2
ПРИМЕР 7. Найти угол между прямыми:
180⁰-φ
φ
cos
х у z
х у z
.
и
.
= arccos

18. Условие параллельности прямых в пространстве

Аксиома стереометрии: Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести
плоскость, и притом только одну.
Следствие: если прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости. Таким образом,
условием параллельности прямых в пространстве является коллинеарность их
направляющих векторов:
а х1
а х2
ПРИМЕР 8: Пусть
cos
а х1
а у1
а у1
а у2
аz1
а z2
а1
а2
аz1
2
2 -2 2
= =
а х 2 а у2 а z 2 3
3 6 -3 3
2 2 2 2 2 2
arccos1 0

19. Условие перпендикулярности прямых в пространстве

Аксиома стереометрии: Если прямые пересекаются, через них то можно провести
плоскость, и притом только одну.
Следствие: если прямые перпендикулярны, то они лежат в одной плоскости.
Условием перпендикулярности прямых в пространстве является перпендикулярность,
т.е. равенство нулю скалярного произведения их направляющих векторов:
а х1 а х2 а у1 а у2 а z1 а z2 0
а1
а2
ПРИМЕР 9: Пусть а х1 а х2 а у1 а у2 а z1 а z2 0 2 3 ( 7) 2 + ( 2) ( 4) 6 14 8 0
cos
arccos

20. Поверхности второго порядка

20

21. Поверхность второго порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Поверхностью второго порядка является геометрическое
место точек трёхмерного пространства, прямоугольные декартовы
координаты которых удовлетворяют уравнению вида
Ах2+Ву2+Сz2+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0,
в котором хотя бы один из коэффициентов A, B, C, D, E и F отличен от нуля.
Это уравнение является общим уравнением
поверхности второго порядка
z
у
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Поверхностью вращения является
поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой
(оси вращения) произвольной линии (прямой, плоской или
пространственной кривой).
х
21

22. Эллипсоид

Эллипсоидом называется поверхность второго порядка, которая в декартовой системе
координат определяется каноническим уравнением:
х у z
=
а
b
с
a b с
Величины a, b и c называются полуосями эллипсоида. Эллипсоид, все оси которого
различны, называется трехосным.
z
с
у
b
а
х
* Любая плоскость пересекает поверхность эллипсоида по эллипсу.

23. Эллипсоид вращения

Если две любые оси эллипсоида одинаковы, то эллипсоид называют сфероидом (эллипсоидом вращения).
Сфероид представляет собой поверхность, образованную вращением половины дуги эллипса вокруг оси,
соединяющей концы этой дуги.
z
с
b
а
х
Пусть, например, а = c. Тогда уравнение эллипсоида примет вид:
х у z
=
а
b
а
a с b
у

24. Гиперболоид

Однополостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка, которая в
декартовой системе координат определяется каноническим уравнением:
х у z
= a b с
а
b
с
Величины a, b и c называются полуосями гиперболоида.
z
* Сечениями однополостного гиперболоида плоскостями
являются эллипсы и гиперболы.
х
у
Оси декартовой системы координат являются осями
симметрии однополостного гиперболоида, начало
координат – его центром симметрии, а координатные
плоскости – плоскостями симметрии.
Оси абсцисс и ординат пересекают однополостный
гиперболоид в точках A1(−a; 0; 0), A2(a; 0; 0), B1(0; −b; 0),
B2(0; b; 0), которые называются его вершинами.
Ось аппликат, не имеющая с гиперболоидом общих
действительных точек, называется его мнимой осью.

25. Гиперболоид

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка, которая в
декартовой системе координат определяется каноническим уравнением:
х у z
= a b с
а
b
с
Величины a, b и c называются полуосями гиперболоида.
z
* Сечениями двуполостного гиперболоида плоскостями
являются эллипсы и гиперболы.
x
у
Ось аппликат декартовой системы координат является
осью симметрии двуполостного гиперболоида, начало
координат – его центром симметрии, а координатные
плоскости – плоскостями симметрии.
Ось аппликат пересекает гиперболоид в точках
C1(0; 0; −c), C2(0; 0; c) которые называются его вершинами.
Ось аппликат называется действительной осью
двуполостного гиперболоида.

26. Гиперболоид вращения

Если в плоскости хОу полуоси гиперболоида равны (а=b), то гиперболоид является поверхностью
вращения, образованной вращением одной (или двух) ветвей гиперболы вокруг оси Оz.
z
х у z
= a b с
а
а
с
z
х у z
= a b с
а
а
с

27. Эллиптический параболоид

Эллиптическим параболоидом называется поверхность второго порядка, которая в
декартовой системе координат определяется каноническим уравнением:
х у
z
а
b
z
a b
* Сечениями эллиптического параболоида плоскостями
являются эллипсы и параболы.
х
у
Ось аппликат декартовой системы координат является
единственной осью симметрии эллиптического
параболоида, плоскости xOz и yOz − плоскостями
симметрии.
Ось аппликат, называемая осью эллиптического
параболоида, пересекает его в начале координат. Эта
точка называется вершиной параболоида.

28. Эллиптический параболоид вращения

Если параметры а и b равны (а=b), то эллиптический параболоид называется круговым параболоидом
и является поверхностью вращения, образованным вращением одной ветви параболы вокруг оси Оz.
х у
z
а
а
z
a b
* Сечениями кругового плоскостями являются
параболы и окружности.
х
у

29. Гиперболический параболоид

Гиперболическим параболоидом называется поверхность второго порядка, которая в
декартовой системе координат определяется каноническим уравнением:
х у
z
а
b
z
у
х
a b
* Сечениями гиперболического параболоида
плоскостями являются гиперболы и параболы.
Ось аппликат декартовой системы координат является
единственной осью симметрии гиперболического
параболоида, плоскости xOz и yOz − плоскостями
симметрии. Ось аппликат, называемая осью
гиперболического параболоида, пересекает его в начале
координат. Эта точка называется вершиной параболоида.
Эта напоминающая седло поверхность образуется при
движении параболы (её ветви направлены вниз), вершина
которой скользит по другой, неподвижной параболе
(ветви направлены вверх). Плоскости парабол в каждый
момент времени перпендикулярны, оси — параллельны.

30. Однополостный гиперболоид в архитектуре

Градирни (охладительные башни)
Шуховская телебашня – г. Москва,
улица Шаболовка, 37. Построена
по проекту академика Владимира
Григорьевича Шухова в период
1919-1922 годов.
Башня порта японского города
Кобе в форме однополостного
гиперболоида высотой 108
метров. Построена в 1963 году.

31. Эллиптический параболоид

Музей космонавтики (г.Калуга)
Спутниковая антенна
Большой Телескоп Азимутальный
Солнечная печь
Московский планетарий
Главное зеркало - эллиптический
параболоид диаметром 6 метров
(пос. Архыз, Карачаево-Черкесия)

32. Гиперболический параболоид

Чипсы Pringles имеют форму
гиперболического параболоида
Океанариум в г. Валенсия
Станция фуникулера в г. Баку