Многогранники

1. СТЕРЕОМЕТРИЯ (МНОГОГРАННИКИ)

2. Предмет стереометрии

СТЕРЕО (греч.) – объемный, пространственный;
МЕТРЕО (греч.) – измерять.
СТЕРЕОМЕТРИЯ – раздел геометрии, изучающий объемные
фигуры
Объекты :
точка;
прямая;
плоскость;
геометрическое тело;
поверхность.

3. ИГРА «НАЗОВИ ФИГУРУ»

4.

5.

• Как называется каждая их этих фигур?
• Что у них общего?
• Как их можно назвать одним словом?

6. МНОГОГРАННИКИ

7. Понятие многогранника

Попробуем сами сформулировать определение…
Опр.: МНОГОГРАННИК – поверхность, составленная
из многоугольников и ограничивающая некоторое
геометрическое тело.
*(само тело тоже называется многогранником)

8.

Виды многогранников насчитывают не один десяток представителей,
отличающихся количеством и формой граней.

9.

10.

11. Многогранники делятся на:

• Выпуклые
Многогранник называется выпуклым, если он расположен
по одну сторону от плоскости каждой его грани.
*Грани выпуклого многогранника являются выпуклыми
многоугольниками;
** В выпуклом многограннике сумма всех плоских углом
при каждой его вершине меньше 3600 .
• Невыпуклые

12. Выберем выпуклые и невыпуклые

13. Общие свойства многогранников:

Все они имеют 3 неотъемлемых компонента:
грани – многоугольники, из которых составлен
многогранник;
ребра – стороны граней многогранника;
вершины – концы ребер.
Каждое ребро многоугольника соединяет две, и только две
грани, которые по отношению друг к другу являются
смежными.

14. Еще немного определений

Отрезок, соединяющий 2 вершины , не принадлежащие
одной грани называется
диагональю многогранника;
Плоскость по обе стороны от которой расположены точки
многогранника, называется
секущей плоскостью;
Общая часть многогранника и секущей плоскости называется
сечением многогранника

15. Теорема Эйлера

Леонард Эйлер (1707 - 1783)
Th: В любом выпуклом многограннике сумма
числа граней и числа вершин больше числа
ребер на 2.
Г+В–Р=2

16. ПРИЗМА

17. Определение

Опр.: ПРИЗМА - многогранник, составленный из
двух равных n- угольников, расположенных в
параллельных плоскостях, и n параллелограммов

18. Нарисуем призму

19. Высота призмы

Опр.: Перпендикуляр,
проведенный из какой-нибудь
точки одного основания к
плоскости другого основания,
называется высотой призмы.

20. Призмы делятся на

ПРЯМЫЕ и НАКЛОННЫЕ
Призма называется прямой, если ее
боковые ребра перпендикулярны к
основаниям, в противном случае –
наклонной.

21. Правильные призмы

Опр.: Прямая призма называется правильной,
ее основание – правильный многоугольник

22. Площадь поверхности

23. Решение задач

Задача 1 (заполни пропуски самостоятельно)
Дано: ABCA1B1C1 – прямая треугольная призма
АС = ВС = 13 см, АВ = 24 см. НН1С1С – квадрат –
наименьшее сечение призмы, проходящее через
боковое ребро. Найти Sполн.
Решение: Треугольник АВС – равнобедренный, СН – высота (наименьшую площадь
сечение будет иметь, если СН – перпендикуляр). ВН =24: 2( высота является
медианой) По т. Пифагора найдём СН:СН = 132 − 122 = ⋯ = 5. СН = СС1=5 (т.к.
сечение – квадрат). Sполн. = Sбок. + 2Sосн.
Sбок.=P*h=(AC+BC+AB)*CC1=(13+13+24)*5=... Sосн.=1/2АВ*СН=…=
Sполн. = Sбок. + 2Sосн.=…=370 см2

24. Решение задач

Задача 2.
Дана правильная пятиугольная призма, все
рёбра которой равны. Sбок. = 80 см2 Найти
высоту призмы.
Дано: (заполни самостоятельно)
Решение: В основании призмы – правильный
пятиугольник, пусть каждая его сторона равна а,
значит площадь боковой поверхности призмы
равна Sбок.=Р*h= 5а*h. Но по условию все рёбра
равны, значит а =h. Отсюда Sбок. = 5а*а=80,
следовательно а*а=16, а=4. Значит и h=4 см