Презентация7

1.

Закон распределения функции случайного аргумента
В случае, если Х - дискретная случайная величина с известным рядом
распределения вероятностей, определение ряда вероятностей Y не
составит сложности.
x1
x2
…
xn
pi
p1
p2
…
pi
yi
(x1)
(x2)
…
(xn)
pi
p1
p2
…
pn
yi
y1
y2
…
ym
pj
p1
p2
…
xi
pm
(*)
(**)

2.

Y = (х) - монотонно возрастающая функция.
Определим функцию распределения G ( y )
( y)
G ( y ) p(Y y ) p( ( x) y ) p( X ( y )) f X ( x)dx
где (y) - обратная функция (x).
Для
выполнения
условия
Y<y
необходимо и достаточно, чтобы
случайная величинаY Хy попала на
участок оси абсцисс от а до (y).
Таким образом, функция распределения
Y для аргумента X, распределенного в
интервале [a,b], равна
0, y (a),
( y )
G ( y ) f X ( x)dx, (a) y (b),
a
1, y (b).
(b)
Y ( x)
y
Y<y
(a)
x
f ( x)
(y)
a
X< (y)
x
b

3.

Y = (х) - монотонно убывающая функция.
Определим функцию распределения
G( y ) p(Y y ) p( ( x) y ) p( X ( y ))
f ( x)dx,
X
( y)
Y ( x)
где (y) - обратная функция (x).
Для
выполнения
условия
Y<y
необходимо и достаточно, чтобы
случайная величина Х попала на
участок оси абсцисс от х = (y) до b.
Таким
образом,
функция
распределения Y для аргумента X,
распределенного в интервале [a,b],
равна
0, y (b),
b
G ( y ) f X ( x)dx, (b) y (a),
( y )
1, y (a).
(a)
y
Y<y
(b)
x
f ( x)
x
a
(y)
b
X> (y)

4.

Плотность вероятностей случайной величины
Y ( x)
для любого монотонного случая имеет следующий вид:
0, y ymin ,
g ( y ) G ( y ) f X ( ( y )) ( y ) , ymin y ymax ,
0, y y .
max
(7.1)
Пример. Пусть случайная величина Х имеет нормальный закон
распределения
1
x 2 / 2 2
Y X 3 Найти g( y ).
f (x)
e
2
Функция
Y ( x) строго монотонна, дифференцируема и имеет обрат
X ( y) 3 Y
.Воспользуемся формулой (7.1). Так как
2/3
2
1
1
e y / 2 , ( y ) ( y1/ 3 ) 2 / 3 ,
3y
2
1
y 2 / 3 / 2 2
g ( y)
e
2/3
3 y
2
f X ( ( y )) f X ( y1/ 3 )

5.

Y = (х) - немонотонная функция.
Алгоритм получения закона распределения Y ( x)
приведен ниже.
1. Построить график Y = (х) и определить диапазон значений
Y [ymin,ymax].
2. Диапазон Y разбить на M интервалов, в каждом из которых
одинаковая степень неоднозначности ki, i=1,2, .. M:
[ymin,y1),[y1,y2) … [yM-1,ymax].
Степень неоднозначности ki – число значений Х,
соответствующих одному значению Y, или число обратных
функций для данного интервала j(у), j=1… ki.
3. Определить обратные функции j(у) = -1 (х) и вычисляется
j'(у) .
В общем случае число обратных функций j(у) в i-м интервале
равно ki
4. Определить плотность вероятностей g(y) по следующей
формуле:

6.

0, y ymin ,
ki
g ( y)
f X ( j ( y))
j 1
0, y y
max .
j ( y) , yi 1 y yi ,
(7.2)
Частные случаи:
1. обратные функций одинаковы для всех интервалов
j ( y) ( y), j ( y) ( y)
, формула (7.2) принимает вид
0, y ymin ,
g ( y ) ki f X ( ( y )) ( y ) , yi 1 y yi ,
0, y ymax .
(7.3)

7.

2. величина Х равномерно распределена в интервале a, b , т.е. ее
плотность равна
1/(b a), a x b
f X ( x)
0, x a, x b
,то выражение для g(у)
можно представить как
0, y ymin ,
1
g ( y ) ki
( y ) , yi 1 y yi ,
b a
0, y ymax .
(7.4)

8.

Числовые характеристики функции случайного аргумента
Если Х – дискретная случайная величина с известным рядом
распределения вероятностей, то
n
mY M [Y ] ( xi ) p i
(7.5)
i 1
n
DY M [Y ] mY 2 ( xi ) pi mY2
2
2
(7.6)
i 1
n
k ( y ) M [Y k ] k ( xi ) pi
(7.7)
i 1
k
n
k ( y) M [Y ] ( ( xi ) mY )k pi
i 1
(7.8)

9.

Если Х – непрерывная случайная величина с известной
плотностью вероятностей f(x), то формулы принимают вид
mY M [Y ] ( x) f ( x)dx
(7.9)
DY M [Y 2 ] mY 2 ( x) f ( x)dx mY2
2
(7.10)
k ( y ) M [Y k ] k ( x) f ( x)dx
(7.11)
k
k ( y ) M [Y ] ( ( x) mY ) k f ( x)dx
(7.12)

10.

Характеристическая функция случайной величины
Пусть
Y eitX
где X – случайная величина с известным законом распределения,
t – параметр,
i
1
Характеристической функцией случайной величины Х
называется математическое ожидание функции Y eitX
n itxk
e pk , для ДСВ,
k 1
itX
X (t ) M [e ]
eitX f ( x)dx, для НСВ.
(7.13)

11.

Характеристическая функция
X (t )
и закон распределения случайной величины однозначно связаны
преобразованием Фурье. Например, плотность распределения f(x)
случайной величины X однозначно выражается через ее
характеристическую функцию при помощи обратного преобразования
Фурье:
1
itX
f ( x)
(
t
)
e
dt
2
(7.14)
Основные свойства характеристической функции:
1. Характеристическая функция величины Z aX b
Z (t )
где X - случайная величина с характеристической функций
Z (t ) M [e
it ( aX b )
] e X (at )
itb
(7.15)
, равна

12.

2. Начальный момент k – го порядка случайной величины X равен
k ( x) X( k ) (0)i k
(7.16)
- значение k –й производной характеристической функции
при t = 0.
n
3. Характеристическая функция суммыY X k
где X( k ) (0)
k 1
независимых
случайных
величин
характеристических функций слагаемых:
равна
произведению
n
Y (t ) X (t )
i 1
i
(7.17)
4. Характеристическая функция нормальной случайной величины с
параметрами m и σ равна:
X
2 2
t
itm
2
(t ) e
(7.18)