Лекция 4

1. Лекция 4

2. Случайная величина. Функция распределения.

3.

Случайная величина одно из основных понятий теории
вероятностей. В самом общем смысле случайная величина
– это некоторая переменная величина, принимающая в
зависимости от случая то или иное значение с определенной
вероятностью. Она может принимать числовое и не
числовое (текстовое) значение.
Пример 1.
Очки на гранях 1
2 3 4 5 6
игральной кости
Вероятности
Пример 2.
Монета
Вероятность
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Орёл
0,5
Решка
0,5
Дальнейшее изложение справедливо только для
числовых случайных величин

4.

Определение 1. В узком смысле случайной
величиной вероятностного пространства {Ω, S, P}
называется любая действительная функция X( ),
определенная для Ω и такая, что для всех
действительных х ( x R) множество { : X( ) <
x}принадлежит полю S. Другими словами для любого
такого события определена вероятность P(X( ) < x)
= P(X < x).
Случайные величины будем обозначать прописными
латинскими буквами X, Y, Z,…, а значения случайных
величин – строчными латинскими буквами x, y, z...
Определение 2. Случайная величина X называется
дискретной, если она принимает значения только из
некоторого дискретного множества. Другими словами
существует конечное или счетное число значений x1,
x2, …, таких, что P(X = xi) = рi 0, i = 1, 2…, причем
pi = 1.

5.

Если известны значения случайной величины и
соответствующие им вероятности, то говорят, что
определен
закон
распределения
дискретной
случайной величины.
Если составлена таблица в верхней части которой
располагаются значения случайных величин, а в
нижней части соответствующие им вероятности, то
получим ряд распределения случайной величины,
который задает закон распределения дискретной
случайной величины.
Пример 3. Составим ряд распределения выпадения
герба при 2-х подбрасываниях монеты. Возможные
исходы – ГГ, ГР, РГ, РР. Из возможных исходов
видно, что герб может выпасть 0, 1 и 2 раза, с
соответствующими вероятностями – ¼, ½, ¼. Тогда
ряд распределения примет вид:
Xi :
0
1
2
рi : ¼
½
¼

6.

Определение 3. Функцией распределения
случайной величины X называется функция F(x),
зависящая от х R и принимающая значение,
равное вероятности события , что X < x, т.е.,
F(x) = P{ : X( ) < x } = P(X < x ).
Из определения следует, что любая случайная
величина имеет функцию распределения.

7. Основные свойства функции распределения.

8.

1. Функция распределения принимает значения из
промежутка 0, 1 , т.е. 0 ≤ F(x) ≤ 1
Это свойство следует из определения функции
распределения.
2. Если х2 >х1, то P(x1≤X<x2 ) = F(x2)-F(x1)
(1)
Доказательство. Представим событие, состоящее в
том, что случайная величина примет значение,
меньшее х2, в виде суммы несовместных событий –
{ : X( ) < x2} = { : X( ) х1} { : x1 ≤ X( ) < x2}.
Так как события несовместные, применим аксиому 3 –
P(X < x2) = P(X x1) + P(x1 ≤ X < x2),
но P(X < x2) = F(x2), P(X x1 ) = F(x1), следовательно
F(x2) = F(x1) + P(x1 ≤ X < x2),
(2)
а это и означает, что P(x1≤X<x2 ) = F(x2)-F(x1).

9.

3. Функция распределения – неубывающая
функция, т.е. если x2 x1 => F(x2) ≥ F(x1).
Доказательство. Если x2 x1, то справедливо
соотношение (2). Но, согласно аксиоме 1
P(x1 ≤ X < x2) ≥ 0, следовательно, F(x2) ≥ F(x1).
4. P(X ≥ x ) = 1-F(x).
Доказательство. События { : X( ) ≥ x} и { :
X( )< x} – противоположные события, так как они
несовместные и { : X( ) ≥ x} { : X( ) < x} = Ω,
следовательно, Р{ : X( ) ≥ x} + Р{ : X( ) < x}=1,
тогда Р(X( ) ≥ x) = 1- Р(X( ) < x) = 1 – F(x).

10.

5. Если х , то F(x) x
1 .
Доказательство. Пусть x1, …, xn …– бесконечно
возрастающая числовая последовательность, xn → ∞
F ( xn ) 1 .
при n → ∞, надо доказать, что lim
n
Рассмотрим
последовательность
несовместных
событий А1, А2, …, Аn, …
А1 = { : X( )<x1}, А2 = { : x1 ≤ X( ) < x2},…,
An
= { : xn-1 ≤ X( ) < xn}, n = 3, 4,…
Очевидно, что событие { : X( ) < xn} можно
представить в виде
суммы событий А1, А2, …, Аn –
n
{ : X( ) < xn}= Ai .
i 1
Так как события Ai несовместны, то по аксиоме
сложения
.
n n
F(x n ) P(X x n ) P Ai P(Ai )
i 1 i 1

11.

Легко видеть, что событие, равное сумме всех
событий Аi является
достоверным
,
т.е.
Ai = Ω.
i 1
Тогда по аксиоме 2 и аксиоме 3` имеем –
n
.
lim F( xn ) lim P(A i ) P(A i ) P Ai P( ) 1
n
n
i 1
i 1
i 1
n
Замечание. Мы не пишем lim P Ai P Ai ,
i 1
i 1
так как не определен предельный переход под
знаком вероятности.

12.

6. Если x → - ∞, то F(x) → 0.
7. Функция распределения непрерывна слева, т.е.
lim (F(x ε) F(x)) .
0
Свойства 6, 7 можно доказать при помощи
аксиомы непрерывности, которая является
альтернативной по отношению к аксиоме 3`.
То есть в аксиоматику теории вероятностей
вместо аксиомы 3` можно включить аксиому
непрерывности, тогда аксиому 3` можно будет
доказать как теорему и наоборот, аксиому
непрерывности можно доказать с использованием
аксиомы 3`.

13.

Аксиома непрерывности. Пусть A1, A2, ..,
An, … – последовательность событий
из S,
причём A1 A2 A3 … An … и A A ,
i
P(An ) P(A) .
тогда lim
i 1
n
Доказательство свойства 6. Рассмотрим
произвольную
бесконечно
убывающую
монотонную последовательность x1 x2 …
xn …, причём xn→-∞, n→∞.
Рассмотрим последовательность событий A1,
… , An,…, Аn = : (Х хn ) . По определению
Р(Аn) = Р(Х хn) = F(хn). Очевидно, что
последовательность событий A1, A2, .., An
удовлетворяет
условиям
аксиомы
непрерывности:
A1 A2 A3 … An … и Ai .
i 1

14.

F(xn ) lim P(An ) P( ) 0 , следовательно
Тогда, lim
n
n
lim F(x) 0 .
х
График функции распределения F(x) изображен на
рис. 1.
F
1
x
0
Рис.1
Приведем доказательство аксиомы непрерывности.
Пусть даны события A1, A2, .., An, … и
A1 A2 A3 … An … и A A .
Тогда, перейдя к противоположным
событиям,
получим:А 1 А2 А3 ….А n …., An = А .
i
i 1
n 1

15.

Представим события А и
А n в виде сумм
несовместных событий:
А n = А1 (А1\А2) (А2\А3) … (Аn-1\Аn)
А = А 1 (А1\А2) (А2\А3) … (Аn-1\Аn) …
Убедиться в правильности этих равенств можно при
помощи диаграмм Эйлера-Вена.
Используя
расширенную
аксиому
сложения,
получим:
Р(А) = Р(А 1) + Р(А1\А2) + Р(А2\А3) +…+ Р(Аn-1\Аn)+
+…=nlim
( Р(А1) + Р(А1\А2) + Р(А2\А3) +…+ Р(Аn-1\Аn))=
=Р( А 1 (А1\А2) (А2\А3) … (Аn-1\Аn)) =Р( Аn).
Следовательно, Р(А) = Р(А n), но Р(А) = 1- Р(А),
тогда Р(А) = 1- Р( А ) =1-Р( А n) =
P(An ),
= (1- Р( Аn)) = lim
n
P(An =
) Р(А).
т.е. получили, что lim
n