lek_03_25 (1)

1. Лекция № 3

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ
МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

2. Момент силы

Если на частицу A действует сила F ,
то момент силы относительно точки O:
M r , F , M rF sin Fl (3.1)
M
в СИ:
M Н м
F
O
l
r
A

3.

Если на тело действуют n сил, то каждая
из них создает свой момент силы M i , где
i 1, 2, n. Момент
действующих на тело
всех
сил,
n
M Mi
i 1
В прямоугольной декартовой системе
координат
M Mx My Mz
составляющие
Mx,M y,Mz –
момента силы относительно осей x, y и z
соответственно.

4.

Из (3.1)
i
j
k
M x
y
z
Fx
Fy
Fz
(3.2)
Раскроем определитель (3.2):
M yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k

5.

В плоской системе сил, в которой все
силы располагаются в одной плоскости, а
центр (O) выбирается в плоскости
действия этих сил, векторный момент
силы относительно точки заменяется
алгебраическим
M Fl
+
–
O
O
(3.3)

6.

Момент силы относительно
оси z
Mz – проекция на ось z M , определенного
относительно произвольной т. O оси z.
M
z
F
Mz
O
r
A

7. Замечания

1. Если сила || оси, то она не имеет
момента относительно этой оси M z 0 .
2. Момент
суммы
сил
(равнодействующей)
равен
сумме
моментов
сил
составляющих
M F M F1 M F2 M Fn
3. Суммарный момент внутренних сил
равен нулю.
F12
M F12 M F21 0
r
O
F21

8. Момент импульса

Момент импульса
относительно т. O:
L
L r , p ,
частицы
L rp sin pl
A
(3.4)
p m – импульс частицы в
выбранной СО.
p
O
l
r
A
В СИ:
L кг м 2 c Н м c Дж c

9.

Момент импульса МС, состоящей из
n частиц, каждая из которых обладает
своим моментом Li , где i 1, 2, n, равен
n
L Li
i 1
В прямоугольной декартовой системе
координат
Lx , L y , Lz –
L L x L y Lz
составляющие
момента
импульса относительно осей x, y и z
соответственно.

10.

Из (3.4)
i
L x
j
y
k
z
px
py
pz
L yp z zp y i zp x xp z j xp y yp x k

11.

Момент импульса Lz относительно
оси
z – проекция на ось z
L, определенного
относительно произвольной т. O оси z.
L
z
p
Lz
O
r
A

12. Основное уравнение динамики вращательного движения

Продифференцируем
(векторное
произведение неперестановочно):
d L d r , d p d r , p
r , p
r , F M
dt
d
t
dt dt
F
0
d r
dr
,
p
0
p , то
Т.к.
d t
d t m

13.

Основное уравнение динамики
вращательного движения. Производная
по времени от момента импульса L частицы
относительно
т.
O
выбранной
СО
равна
моменту M равнодействующей силы F
относительно той же т. O.
dL
M
dt
(3.5)
Относительно оси z:
d Lz
Mz
dt
(3.6)

14.

i
Момент импульса i-ой точки
тв. тела относительно оси z:
Lzi rm
i ri ,
i i i ,
mi
Jz
ri
n
2
d
m
r
i
n
i i
z
n
i 1
d Lzi d ri mi r i
d Lz
i 1
i 1
dt
dt
dt
dt
J z – момент инерции тела относительно
оси вращения z. Тогда
d Lz d J z
M
z
dt
dt

15.

Для твердого тела момент импульса
относительно оси
Lz J z
(3.7)
При Jz =const из (3.6) и (3.7), основное
уравнение
динамики
вращательного
движения
d
Jz
J z z M z
dt
(3.8)

16. Момент инерции тела относительно оси –

– скалярная величина
n
J z mi ri ,
z
2
(3.9)
i 1
ri
mi
m
где Δmi – масса i-ой частицы твердого
тела, а ri – её расстояние от оси z. В СИ:
2
J z кг м

17. Моменты инерции некоторых однородных твердых тел массы m относительно оси c, проходящей через ЦМ тела:

Твердое
тело
Тонкий стержень длины l
Сплошной
цилиндр
радиуса R
Тонкий
диск
радиуса R
Шар
радиуса R
Рисунок
Расположение оси c
Jc
с
стержню
ml2/12
с
с
c
Совпадает с осью
mR2/2
цилиндра
Совпадает с
mR2/4
диаметром диска
Проходит через центр 2mR2/5
шара

18.

Расчет
момента
инерции
сплошного
цилиндра массы m, радиуса R относительно
оси z, проходящей через ЦМ и совпадающей
с осью цилиндра. (3.9) сводится к
2
Jz r dm
z
R Выделим кольцо радиуса
r,
толщиной
dr,
массой
dr r
h d m 2 rh d r
ρ – плотность материала.
R
R
J z 2 rhr d r h2 r d r
3
2
0
0
4 R
2
2
r
R
mR
h2 R 2 h
4 0
2
2

19.

Момент
Теорема Штейнера.
инерции тела относительно произвольной
оси z равен моменту инерции Jc
относительно оси c, параллельной данной
и проходящей через ЦМ С тела, плюс
произведение массы m тела на квадрат
расстояния a между осями:
Центр
z
c
масс
z
c
J z J c ma
2
С
(3.10)
m
a

20. Закон изменения момента импульса и закон сохранения момента импульса (ЗСМИ) МС

Закон изменения момента импульса
и закон сохранения момента
z
импульса (ЗСМИ) МС
O
x
ri
pi
y
Пусть МС состоит из движущихся и
взаимодействующих частиц, движение
которых рассматриваем относительно т. O.
Тогда каждая i-ая
МТ будет обладать
моментом импульса Li относительно т. O.

21.

Внутренние и внешние силы,
действующие на частицы МС, создают
относительно
и внешние
eвнутренние
i т. O
моменты M ij и M i соответственно.
i e
d L1 i i
M12 M13 ... M1n M1
dt
i e
d L 2 i i
M 21 M 23 ... M 2n M 2
dt
.............................................
i i
i
e
d Ln
M n1 M n 2 ... M n n 1 M n
dt

22.

Т.к.
i
i
M ij M ji
n
d n
e
Li M i
d t i 1
i 1
– уравнение моментов механической
системы: производная момента импульса
системы по времени равна суммарному
моменту всех внешних сил, действующих
на частицы МС
n
d Lc
e
Mi
dt
i 1
(3.11)

23.

Здесь Lс Li – суммарный момент
i
импульса МС,
e
M i – суммарный момент внешних
i
сил, действующих на МС.
В замкнутой МС
в квазизамкнутой МС
d Lc
0
dt
e
M i 0,
e
M i 0,
n
i 1
выполняется ЗСМИ: Lc const (3.12)

24.

ЗСМИ МС: момент импульса замкнутой
механической системы частиц остается
постоянным, т.е. не меняется со временем.
Выполняется для момента импульса,
взятого относительно любой точки ИСО.
Следствия
закона
изменения
момента импульса: L const
c
1. если МС замкнута (квазизамкнута);
2. если внешние силы || оси вращения;
3. если силы
вращения.
проходят
через
ось