1. ЦИЛИНДР

1.

2.

Содержание
Шар и
сфера
Конус
Тела
вращения
Цилиндр
Левый клик по названию раздела

3. Определение тела вращения

Тело вращения – это пространственная фигура, полученная
вращением плоской ограниченной области вместе со своей
границей вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

4. Задание

Из каких геометрических тел состоит тело,
полученное вращением трапеции вокруг оси,
содержащей большее основание трапеции.
Конусы
Цилиндр

5. Задание

•Говорят, что фигура Ф в пространстве получена
вращением фигуры F вокруг оси а , если точки фигуры
Ф получаются всевозможными поворотами точек
фигуры F вокруг оси а. Фигура Ф при этом называется
фигурой вращения.
Вращение точки А
вокруг прямой а –
окружность.
Вращение
окружности вокруг
её диаметра –
сфера.
Вращение
прямоугольника вокруг
одной из его сторон –
цилиндр.

6.

Вращение
прямоугольного
треугольника вокруг
одного из катетов –
конус.
Вращение окружности вокруг прямой,
лежащей в плоскости окружности и не
имеющей с этой окружностью общих
точек – тор.
Вращение трапеции,
один из углов
которой является
прямым, вокруг
боковой стороны –
усечённый конус.

7.

Вращение эллипса
вокруг его оси–
эллипсоид
вращения.
Вращение параболы
вокруг её оси –
параболоид
вращения.
Вращение гиперболы
вокруг её оси –
гиперболоид
вращения.

8.

Примеры цилиндров
Слово цилиндр означает от
греческого слова
“валик”, “каток”.

9. Примеры цилиндров

Цилиндр
Зададим две параллельные плоскости α и . В плоскости α расположим
окружность некоторого радиуса. Если из каждой точки окружности
провести взаимно параллельные прямые пресекающие плоскость , то в
плоскости получится окружность такого же радиуса. Отрезки
прямых, заключенных между параллельными плоскостями
образуют в этом случае цилиндрическую поверхность.
Цилиндр – это тело,
заключенное между
двумя кругами
расположенными в
параллельных
плоскостях и
цилиндрической
поверхностью.

10. Цилиндр

Ось
вращения
H
L
R
Основания
Цилиндр – это тело, которое описывает
прямоугольник при вращении около оси,
содержащей его сторону.
Верхний и нижний круги – это основания
цилиндра.
Прямая проходящая через центры кругов –
это ось цилиндра.
Отрезок параллельный оси цилиндра, концы
которого лежат на окружностях основания –
это образующая цилиндра (L).
Радиус основания - это радиус цилиндра (R).
Высота цилиндра (Н) - это перпендикуляр между
основаниями цилиндра.
Длина высоты прямого цилиндра равна длине
образующей

11. Цилиндр

Круги называются основаниями
цилиндра.
Основания
цилиндра

12. Круги называются основаниями цилиндра.

Отрезки, соединяющие соответствующие точки
окружностей кругов называются образующими
цилиндра.
AB, CD – образующие цилиндра
Сколько образующих имеет цилиндр?
У цилиндра множество
образующих.
C
A
Образующие
цилиндра
B
D

13. Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов называются образующими цилиндра. AB, CD – образующие цилиндра

Радиус цилиндра – это радиус его основания
(OA).
Высота цилиндра – расстояние между
плоскостями оснований. (ОО1)
Ось цилиндра – прямая, проходящая через
центры оснований.
Ось
Радиус
O
A
Высота
O1

14. Радиус цилиндра – это радиус его основания (OA). Высота цилиндра – расстояние между плоскостями оснований. (ОО1) Ось цилиндра –

Виды цилиндров
Прямой круговой
Наклонный круговой
Прямой некруговой
парабола
Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны
плоскостям основания.

15. Виды цилиндров

Цилиндр, полученный вращением
прямоугольника ABCD вокруг стороны AB
Высота
цилиндра
B
C
Длина образующей –
высота цилиндра.
Радиус основания –
радиус цилиндра.
A
D
Радиус
цилиндра

16. Цилиндр, полученный вращением прямоугольника ABCD вокруг стороны AB

Сечения цилиндра
Секущая плоскость может располагаться по-разному,
рассмотрим некоторые виды сечений.
1) Осевое сечение – сечение
цилиндра
плоскостью,
проходящей
через
ось
цилиндра. Плоскость сечения
содержит ось цилиндра и
перпендикулярна основаниям.
В сечении – прямоугольник.
2) Сечение плоскостью
параллельной оси цилиндра:
Плоскость сечения
параллельна оси цилиндра и
перпендикулярна основаниям.
В сечении – прямоугольник.

17. Сечения цилиндра

Задание
•Осевые сечения двух цилиндров равны.
Равны ли высоты этих цилиндров?
Нет
5 см
3 см
3 см
5 см

18. Задание

Сечения цилиндра
3) Сечение плоскостью параллельной основанию цилиндра
(перпендикулярной к оси). Плоскость сечения параллельна
основаниям цилиндра и перпендикулярна оси. В сечении – круг.

19. Сечения цилиндра

20.

Пусть цилиндр пересекли плоскостью,
перпендикулярной оси и получили круг
площадью 3π. Чему равен радиус цилиндра?
3

21. Пусть цилиндр пересекли плоскостью, перпендикулярной оси и получили круг площадью 3π. Чему равен радиус цилиндра?

Равносторонний цилиндр
Осевое
сечение –
квадрат.
H = 2R
H
R

22. Равносторонний цилиндр

Теорема
• Плоскость, перпендикулярная оси
цилиндра, пересекает его боковую
поверхность по окружности,
равной окружности основания.

23. Теорема

Касательная плоскость цилиндра – плоскость
проходящая через образующую цилиндра и
перпендикулярная осевому сечению,
проведенному через ту же образующую

24.

Задача № 1.
Радиус основания цилиндра 2 м, высота
3 м. Найдите диагональ осевого сечения.
В
А
О
3м
C
О1 2м
D
Ответ: 5 м.

25. Задача № 1.

Задача № 2.
Высота цилиндра 24 см, радиус основания 4 см.
Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
В
А
24
C
4
D
Ответ: 192 кв.см.

26. Задача № 2.

Задача № 3.
Площадь осевого сечения цилиндра 42 см2,
высота цилиндра 7 см.
Найдите площадь основания цилиндра.
В
А
7
С
D

27. Задача № 3.

Площадь поверхности цилиндра
Для вывода формулы площади полной поверхности цилиндра потребуется
развертка цилиндра.
Полная поверхность состоит из 2 оснований
и боковой поверхности.
Sосн.
= R2
Sбок.=2 RH
R
h
2 R
R – радиус основания
цилиндра
Боковая поверхность
цилиндра есть …
прямоугольник
.
R
Одна сторона прямоугольника – это высота цилиндра (h), другая – длина
окружности основания (2 R). Площадь боковой поверхности цилиндра равна
произведению сторон прямоугольника.
Получаем, Sполн. = Sбок. + 2Sосн. = 2 Rh + 2 R2
Sполн = 2 R (R + h)

28. Площадь поверхности цилиндра

Решение задач с цилиндром
Задача 4. Во сколько раз увеличится боковая поверхность цилиндра,
если его высота увеличится в 5 раз, а радиус основания останется
прежним?
R
5h
R
Ответ: площадь боковой
поверхности увеличится в 5 раз.
h
Sбок =2 Rh
Sбок =2 R5h = 10 Rh
Задача 5. Как изменится площадь боковой поверхности цилиндра,
если радиус основания увеличится в 2 раза, а высота останется
прежней?
R
2R
Ответ: площадь боковой
поверхности увеличится в 2 раза.
h
h
Sбок =2 Rh
Sбок =2 2Rh = 4 Rh

29. Решение задач с цилиндром

Задача № 6. Найти площадь полной
поверхности цилиндра
В
5
А
45º
r
С
АВС
- прямоугольный
АВС
- равнобедренный
ВС=АС=5
r=2,5
S=2πr(h+r)
S=2π·2,5(5 + 2,5)= 5π·7,5 = 37,5π

30. Задача № 6. Найти площадь полной поверхности цилиндра

Задача № 7. Площадь осевого сечения цилиндра
равна 10 м2, а площадь основания равна 5 м2.
Найдите высоту цилиндра.
В
O1
С
H
РЕШЕНИЕ.
Осевое сечение - прямоуголь ник,
Основаниецилиндра - круг ,
R 2 5,
2 R H 10
из 2 - го уравнения выразим
R
А
R
O
D
10
5
и подставим в 1 - е :
2H H
2
5
5
H
25π
2
5
5
H
25 H 5 ( м)
2
H

31.

Задача № 8. Высота цилиндра равна 8 см, радиус
равен 5 см. Найдите площадь сечения цилиндра
плоскостью, параллельной его оси, если расстояние
между этой плоскостью и осью цилиндра равно 3 см.
РЕШЕНИЕ.
Сечение цилиндра плоскостью,
параллельной его оси, есть
C
O1
B
ABCD- прямоугольник
SABCD= AB·AD, H=AB=8 см.
OK- расстояние от О до AD
H=8
D
К
3
R=5
A
OK AD, AK=KD, AK=4 см
AD=8 см
O
SABCD=8·8=64 (см2)

32.

Задача № 9.
(решить самостоятельно по задаче №8)
Высота цилиндра 6 см, радиус основания 5 см.
Найдите
площадь
сечения,
проведённого
параллельно оси цилиндра на расстоянии 4 см от неё.
D
С
6
В
А
М
5
4 О

33. Задача № 9. (решить самостоятельно по задаче №8)

№ 10. Осевое сечение цилиндра – квадрат,
диагональ которого равна 20 см.
Найдите: а) высоту цилиндра;
б) площадь основания цилиндра.
В
А
О1
О
С
D
ABCD-квадрат
Н=СD, CD=AD
2CD2=AC2
CD=10 2см
R=0,5AD=5 2 см
S R
S=50 см2
2

34.

Какая фигура получается в сечении цилиндра
плоскостью, проходящей перпендикулярно оси
цилиндра?
Круг
Какая фигура получается в сечении цилиндра
плоскостью, проходящей через ось цилиндра?
Прямоугольник
Чему равна площадь осевого сечения
равностороннего цилиндра, высота которого
равна 6 см?
36 см2

35.

Задача 11.

36. Задача 11.

Решение задач с практическим содержанием
12) Найдите площадь листа жести, если из него
изготовлена труба длиной 8 м и диаметром 32 см?
Ответ: 2,56 м2
13) Сколько квадратных метров жести израсходовано на
изготовление 1 млн. консервных банок диаметром 10 см и
высотой 5 см (на швы и отходы добавить 10%
материала)?
Ответ: 11000 м2
14) Цилиндрический паровой котел имеет диаметр 1 м,
длина котла равна 3,8 м, давление пара 10 атм. Найдите
силу давления пара на поверхность котла.
Ответ: ≈1,4 ·10 Н