pergament

1.

Гауссовское распределение
Выполнили:
Марчук Ростислав 35-11
Сипратов Илья 35-11

2.

Гауссовское распределение
Гауссовское распределение, также называемое распределением Гаусса — Лапласса или
«нормальный распределением» - непрерывное распределение вероятностей с пиком в
центре и симметричными боковыми сторонами, которое в одномерном случае задаётся
функцией плотности вероятности:
...где параметр μ — мат. ожидание (среднее значение), медиана и
мода распределения, а параметр σ — среднеквадратичное
отклонение, σ2 - дисперсия распределения.

3.

Гауссовское распределение
Множитель 1 / σ*корень(2*п) нужен для того, чтобы площадь под всей кривой
равнялась единице, ведь полная вероятность всегда 100 процентов. Из этой формулы
прямо вытекает правило трёх сигм: примерно 68% значений лежат в пределах μ±σ, около
95% — в пределах μ±2σ, и почти 99.7% — в пределах μ±3σ. Вы это увидите через
несколько слайдов на графике.

4.

Гауссовское распределение

5.

Гауссовское распределение
μ ≈ 170 см
σ ≈ 12.5

6.

Гауссовское распределение

7.

Гауссовское распределение
μ ≈ 49,95 см
σ≈2

8.

Гауссовское распределение
Формулы для решения задач:
«Формула нахождения индекса «Z»»
Z-величина показывает, на сколько сигм (стандартных отклонений) интересующее нас значение X
отклоняется от среднего(Мат. Ожидание, то есть μ.)
Если Z=1.5, значит X на 1.5 сигмы правее среднего.
Если Z=−2, то X левее среднего на 2 сигмы.
Зная индекс Z, мы можем рассчитать вероятность значения X, используя таблицу значений.
Полученная вероятность будет показывать площадь графика левее Z.

9.

Допустим, вы вычислили,что Z=1.53.
В левом столбце ищете 1.5 (целую часть и
первый знак после запятой).
В верхней строке ищете 0.03 (второй знак после
запятой).
На пересечении строки 1.5 и столбца 0.03 стоит
число 0.93699.
Это и есть ответ. Вероятность получить значение
меньше, чем на 1.53 сигмы выше среднего равна
0,937
Что делать, если Z — отрицательное число?
Колокол Гаусса симметричен, поэтому забудьте
про минус. Найдите ваше значение в таблице
положительных, а после вычтите найденную
вероятность из единицы.
Z(-1.53) = 1 — 0,937 = 0.063

10.

Гауссовское распределение
Примеры задач:
Спортсмен участвовал в двух турнирах. В Турнире А он набрал 120 очков. Средний результат - 100,
а стандартное отклонение — 10. В Турнире Б он набрал 110 очков. Средний результат - 90, а
отклонение - 5. В каком из турниров спортсмен выступил лучше относительно других участников?
Решение:
Турнир А: X(Значение баллов) = 120, μ = 100, σ = 10
Турнир Б: Х = 110, μ = 90, σ = 5
Z-индекс для Турнира А:
Z = (120 - 100)/(10) = 20/10 = 2
(Спортсмен обошел около 97,5% участников).
Z-индекс для Турнира Б:
Z= (110 - 90)/5 = 20/5 = 4
(Спортсмен находится за пределами трёх отклонений , что является крайне редким
результатом).
Сравнение: Так как Z(Б) > Z(A) (4 > 2), результат во втором турнире сильнее отклоняется от
среднего в положительную сторону.
Ответ: В Турнире Б спортсмен выступил лучше относительно других участников, так как его
результат в единицах стандартного отклонения выше.

11.

Гауссовское распределение
Примеры задач:
Агрономы изучают вес плодов нового сорта томатов. Средний вес плода составляет 150 г,
стандартное отклонение - 15 г. Для элитной продажи отбираются только те плоды, вес которых
превышает 180 г. Какова вероятность того , что случайно выбранный плод попадёт в элитную
категорию ?
Справочные материалы:
Z(0)
P(Z) = 0,5
Z(1)
P(Z) = 0,8413
Z(2)
P(Z) = 0,9772
Z(3)
P(Z) = 0,9987

12.

Гауссовское распределение
Примеры задач:
Агрономы изучают вес плодов нового сорта томатов. Средний вес плода составляет 150 г,
стандартное отклонение - 15 г. Для элитной продажи отбираются только те плоды, вес которых
превышает 180 г. Какова вероятность того , что случайно выбранный плод попадёт в элитную
категорию ?
Решение:
Нахождение Z-индекса:
Z = (180 - 150)/15 =30/15 = 2
P(Z) = P(X≤180) = 0,9772
P(X>180)=1−0.9772=0.0228
Ответ: Вероятность того, что плод попадет
в элитную категорию, составляет 0,0228

13.

Гауссовское распределение
Примеры задач:
Логистическая компания анализирует время доставки грузов между двумя городами. Среднее время
составляет 48 часов. Известно, что в 2,5% случаев доставка занимает более 52 часов. Найти
стандартное отклонение для данного процесса доставки, основываясь на свойствах нормального
распределения.
Справочные материалы:
Z(0,56)
P(Z) = 0,7123
Z(1,23)
P(Z) = 0,8907
Z(1,56)
P(Z) = 0,9406
Z(1,96)
P(Z) = 0,9975

14.

Гауссовское распределение
Примеры задач:
Логистическая компания анализирует время доставки грузов между двумя городами. Среднее время
составляет 48 часов. Известно, что в 2,5% случаев доставка занимает более 52 часов. Найти
стандартное отклонение для данного процесса доставки, основываясь на свойствах нормального
распределения.
Решение:
1 - P(Z) = (52 — 48)/σ = 0,025
(1 — P(Z) т. к. доставка занимает более 52 часов, а не меньше или равно 52 часов.)
P(Z) = 1 - 0,025 = 0,975
Z = 1,96(по таблице)
σ = (52 — 48)/1,96 = 4/1,96 = 2,04
Ответ: Отклонение составляет примерно 2,04 часа.