Статистическая теория обнаружения радиолокационных сигналов

1.

Военный учебный центр
им. Героя Российской Федерации
генерала армии Дубынина В.П.
КАФЕДРА СПЕЦИАЛЬНЫЕ
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
дисциплина
«Теоретические основы радиолокации»
г. Красноярск 2026

2. Тема № 1 «Теоретические основы радиолокации» Занятие № 6 «Статистическая теория обнаружения радиолокационных сигналов»

3.

Учебные цели:
1. Раскрыть содержание задачи оптимизации обнаружения
сигналов и метода ее решения.
2. Определить основные показатели качества обнаружения,
такие как вероятность правильного обнаружения, вероятность
ложной тревоги, вероятность пропуска цели и их значимость.
3. Изучить статистические критерии, используемые для
оптимизации обнаружения сигналов.

4.

Учебные вопросы занятия:
1. Постановка задачи оптимального обнаружения
радиолокационных сигналов. Показатели качества
обнаружения.
2. Статистические критерии оптимизации обнаружения сигналов.
Оптимальное решающее правило.

5.

Литература
для самостоятельной подготовки:
1. Радиолокационные системы: учебник / В.П. Бердышев, Е.Н. Гарин, А.Н. Фомин [и др.];
под общ. ред. В.П. Бердышева. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т. -2011. -400с.
2. Бакулев П.А. Радиолокационные системы: учебник для вузов.М.: Радиотехника, 2004,
320с.

6.

Учебный вопрос №1
Постановка задачи оптимального обнаружения
радиолокационных сигналов. Показатели качества
обнаружения

7.

Вопрос № 1
Показатели качества обнаружения
Решение задачи радиолокационного обнаружения сводится к принятию
решения о наличии или отсутствии цели. В реальных условиях на входе
приемного устройства РЛС наблюдается смесь полезного сигнала и помех. Это
приводит к случайному характеру результатов РЛ обнаружения и указывает на
статистический характер задачи обнаружения.
В общем случае колебание на входе обнаружителя можно записать в такой
форме:
y(t) = Aх(t) + n(t),
где А - дискретный параметр, принимающий значения 0
или 1;
х(t) - полезный сигнал;
n(t) - аддитивная помеха.
8

8.

Вопрос № 1
При этом задача РЛ обнаружения заключается в выяснении следующего: содержит
принимаемое колебание y(t) отраженный сигнал х(t) или нет. Для этого необходимо принять
решение
Â
о значении параметра А по результату анализа принятого входного колебания y(t).
Вследствие случайного характера входного шума решение
Â
не всегда соответствует истинному значению.
Возникают ошибки принятия правильного решения, которые при обнаружении должны быть
сведены к минимуму.
Таким образом, задача оптимального обнаружения состоит в отыскании оптимального в
определенном смысле решающего правила
Аˆ Аˆopt y (t ) ,
а метод её решения сводится к совокупности операций такого поиска.
Решение о наличии или отсутствии цели может быть принято при двух заранее неизвестных
и взаимно исключающих условиях:
9

9.

Вопрос № 1
условие А1 – «цель есть»;
условие А0 – «цели нет».
Условию А0 соответствует случай, когда на входе приемного устройства присутствует
только помеха, т.е. А = 0 и y(t) = n(t). Для условия А1 А=1 и y(t) = х(t) + n(t).
Соответственно в этих условиях могут приниматься два вида решений:
решение А̂1 – «цель есть»,
решение А̂0 – «цели нет».
При обнаружении возможны четыре ситуации совмещения случайных событий «решения»
и «условия»:
1.ситуация А̂1 А1(правильное обнаружение);
2.ситуация А̂0 А1 (пропуск цели);
3.ситуация А̂1 А0(ложная тревога);
4.ситуация А̂0 А0 (правильное необнаружение).
10

10.

Вопрос № 1
Данным ситуациям соответствуют четыре вероятности совмещения указанных событий,
составляющих полную группу, т. е.
P( Аˆ1 А1 ) P( Аˆ0 А1 ) P( Аˆ1 А0 ) P( Аˆ0 А0 ) 1
По теореме умножения вероятностей имеем:
ˆ А P A
ˆ A P A , i, j 0;1.
Р A
i j
i
j
j
Ввиду того, что заранее определить априорные вероятности P(A0) и P(A1) практически
сложно, за показатели качества обнаружения принимают условные вероятности
P( Aˆi / Aj ),
которые имеют следующие обозначения:
D Р Aˆ A – условная вероятность пропуска цели;
D = P Аˆ 1 А1 – условная вероятность правильного обнаружения;
0
1
F = P Aˆ 1 A0 – условная вероятность ложной тревоги;
F = P Aˆ 0 A0
– условная вероятность правильного необнаружения.
11

11.

Вопрос № 1
Так как решения, соответствующие одинаковым условиям, являются
взаимоисключающими, то
D D 1
F+F 1
Тем самым качество обнаружения может быть полностью охарактеризовано
условными вероятностями правильного обнаружения D и ложной тревоги F.
Допустимые значения условных вероятностей правильного обнаружения и
ложной тревоги (рис. 1) обычно устанавливают из практических соображений.
Значения условных вероятностей ложной тревоги F и правильного
F
необнаружения
задаются обычно для разрешаемого элемента пространства. За определенный
интервал времени работы радиолокатор просматривает большое число m таких
элементов.
12

12.

Вопрос № 1
Рис. 1. Условные плотности вероятности РП(z) и РСП(z)
13

13.

Вопрос № 1
В частном случае, если условные вероятности ложной тревоги для всех
элементов разрешения одинаковы, получим
Fm F 1 F ,
m
откуда при F
m
1 вероятность хотя бы одной ложной тревоги для совокупности
m из m элементов
Fm 1 1 F mF.
m
При m > 1 величина Fm > F. Поэтому в теории обнаружения
радиолокационных сигналов обычно оперируют с весьма малыми значениями
допустимой вероятности ложной тревоги для каждого из разрешаемых
элементов Fдоп = Fm доп/m.
Например, при m = 105 допустимым значениям условной вероятности ложной
тревоги Fm доп = 10-1÷10-3 соответствует допустимое значение условной
вероятности ложной тревоги в каждом разрешаемом объеме Fдоп=10-6÷10-8.
14

14.

Вопрос № 1
Вероятность правильного обнаружения D стремятся сделать возможно большей, что
:
особенно трудно обеспечить, когда цель находится
на значительном удалении и энергия
отраженных сигналов крайне мала. Границу зоны обнаружения радиолокатора определяют
величиной предельной дальности, на которой условная вероятность пропуска за один цикл
обзора не более некоторого допустимого значения Dдоп
Dдоп 0,05 0 ,5,
Dдоп= 0,95÷0,5.
Иногда и завышены требования к РЛС:
Dдоп = 0,01 ÷ 0,0 008 Dдоп = 0,93÷0,9999.
Обобщающим показателем качества обнаружения является средний риск от
ошибок обнаружения
r
Этот показатель учитывает средние потери от принятия ошибочных решений в
ситуациях
Â0 А1 rD и Аˆ1 А0 rF
ˆ ,A r P А
ˆ ,А .
r rF P A
1
0
0
1
D
15

15.

Вопрос № 1
Критерий – существенный признак по которому производится оценка,
определение или классификация чего-либо
16

16.

Учебный вопрос №2
Статистические критерии оптимизации обнаружения
сигналов. Оптимальное решающее правило

17.

Вопрос № 2
Учитывая априорные вероятности Р(А0), Р(А1) и введенные показатели качества
обнаружения D F, средний риск
r rF P A0 F rD P А1 1 D .
Таким образом, основными показателями качества обнаружения сигналов являются
вероятности правильного и ошибочного решений, стоимости потерь (риска) от принятия
ошибочных решений и средний риск.
Наиболее общим критерием оптимальности обнаружения сигналов является критерий
минимума среднего риска (байесовский). Подбирается такой способ (алгоритм) обработки
РЛИ, при котором средний риск принимает минимальное значение, т. е. r min .
r rF F P A0 rD 1 D Р А1 rD Р А1 1 D l0 F ,
– весовой критерий (рис. 2). Выражение
D l0 F max представляет
весовой
критерий,
согласно
l0
rF P A0
rD Р А1
которому оптимизация обнаружения достигается
за счет обеспечения максимума разности
– весовой множитель.
18

18.

Вопрос № 2
Рис. 2. К выбору порога по весовому
критерию
19

19.

Вопрос № 2
Критерий Неймана-Пирсона является следствием весового критерия и
вытекает из следующих логических рассуждений. Если при одинаковом
весовом множителе сравнить два обнаружителя, один из которых является
оптимальным, то, согласно весовому критерию, справедливо неравенство:
DОПТ l0 FОПТ D l0 F
DОПТ D l00 ( FОПТ F )
Согласно критерию Неймана-Пирсона, оптимальный обнаружитель обеспечит
наибольшую условную вероятность правильного обнаружения из всех
обнаружителей, у которых условная вероятность ложной тревоги не больше,
чем у оптимального.
20

20.

Вопрос № 2
Отсюда следует, что оптимальный обнаружитель имеет наибольшую вероятность правильного
обнаружения среди всех обнаружителей, у которых вероятность ложной тревоги F ≤ Fопт.
Это свойство используется в критерии Неймана–Пирсона, согласно которому оптимальная система
обнаружения должна максимизировать вероятность правильного обнаружения Д при фиксированной
вероятности ложной тревоги F,
т.е. D = max при F = const.
На практике также используется критерий идеального наблюдателя. Под идеальным понимается такой
наблюдатель, для которого и ложная тревога, и пропуск цели имеют одинаковую стоимость rF=rD=r0.
(Применяется в теории связи при передаче цифровой информации)
При r0=1
r D Р A1 F P A0 .
Для решения задачи оптимизации обнаружения необходимо определить взаимосвязь показателей
качества D и F с характеристиками принимаемого сигнала y(t) и перейти от наблюдаемых значений y(t) к
решению
ˆ [ y (t )].
A
Для этого следует разбить множество возможных реализаций y(t) на две области: Y1 и Y0.
Разбиение области Y определения величины
y на Y1 и Y0 осуществим введением
некоторого порогового значения y0
Y0
Y1
y0
y
21

21.

Вопрос № 2
Чтобы найти оптимальное правило Âопт
y
будем полагать, что плотности вероятности распределения помехи pп(y) и смеси «сигнал +
помеха pсп(y) известны.
Если помеха распределена по нормальному закону с нулевым средним, то графики
условных плотностей распределения случайной величины y при отсутствии pп(y) (A = 0) и
наличии pсп(y) (A = 1) цели будут иметь вид
pcп(y) = pп(y – x).
График
плотности
распределения y при наличии
полезного сигнала p(y/A1) = pсп(y)
сдвинут относительно графика
p(y/A0) = pп(y) на величину
полезного сигнала x.
Решение задачи обнаружения может быть описано решающей функцией Âопт
y
22

22.

Вопрос № 2
D Аˆ ( y ) pсп y dy,
F Аˆ ( y ) pп y dy.
ˆА( y ) 1 при y y0 ,
0 при y y0 .
Д – l0F = max.
ˆ ( y ) p y l p y dy
Д l0 F А
0 п
cп
ˆ ( y ) p y l y l dy,
А
п
0
Введенная таким образом, послеопытная плотность вероятности p(y), рассматриваемая как
функция параметра у, называется функцией правдоподобия, которая показывает насколько
одно возможное значение параметра у более «правдоподобно», чем другое. Согласно критерию
максимального правдоподобия из двух гипотез есть цель или нет выбирается та, которой
соответствует большее значение функции правдоподобия для наблюдаемой реализации у:
pсп y
l y
pп y
– отношение правдоподобия.
Поскольку pп(y) ≥ 0, то величина Д – l0F достигает максимума при наибольших величинах
произведения:
(y)[l(y) – l0] = max.
Â
1 при l y l0 ,
ˆА y
опт
0 при l y l0 .
23

23. Вывод по второму вопросу:

Вопрос № 2
Вывод по второму вопросу:
Последнее
соотношение
характеризует
критерий
отношения
правдоподобия.
Таким образом, решение о наличии цели принимается в том случае, когда
отношение правдоподобия l(y) ≥ l0, в противном случае принимается решение
об отсутствии цели.
24

24.

Заключение и указания по отработке материала лекции:
1. Оптимальное правило решения задачи обнаружения сводится к
нахождению отношения правдоподобия и сравнению его с порогом.
2. Основными показателями качества радиолокационного обнаружения
являются условные вероятности правильного обнаружения Д и ложной
тревоги F.
3. Основными статистическими критериями оптимизации обнаружения
сигналов являются:
- критерий минимума среднего риска;
- весовой критерий;
- критерий Неймана-Пирсона.
25

25. Задание на самостоятельную подготовку:

1.Какие показатели качества обнаружения используются в задаче
оптимального обнаружения радиолокационных сигналов?
2.Какие статистические критерии используются для оптимизации обнаружения
сигналов?
3.Что такое оптимальное решающее правило и как оно применяется в задаче
обнаружения сигналов?
4.В чём заключается принцип максимального правдоподобия и как он
используется для оптимизации обнаружения сигналов?
5.Как можно оценить вероятность ложной тревоги и вероятность пропуска
сигнала при использовании статистических критериев оптимизации
обнаружения?