Множество комплексных чисел

1.

Множество
комплексных
чисел.

2.

Комплексным числом называется выражение
вида а + bi, в котором а и b – действительные числа,
а i – некоторый символ такой, что
i
1
Действительное число a называется действительной
2
частью z=a+bi (Re z), а число b-мнимой частью (Im z)
Комплексное число z=a+bi изображают точкой
плоскости с координатами (a;b)
Точка М(a;b), соответствующая комплексному числу
z=a+bi, называется аффиксом данного числа z.

3.

Два комплексных числа (a; b) и (c; d) называются
равными, если а = с и b = d.
Комплексное число a-bi называется
комплексно сопряженным с числом a+bi
z
и обозначается через
z a bi= a-bi
Комплексные числа вида a+bi и –a-bi называются
противоположными.

4.

Арифметические операции над
комплексными числами
Суммой комплексных чисел z = (a; b) и
w = (c; d) называется комплексное число
(a+c; b+d).
Разностью комплексных чисел z = (a; b) и w =
(c; d) называют такое числоu, которое в сумме с
числом w даёт число z
z = w + u.

5. Справедливо следующее правило: (a; b) – (c; d) = (a – c; b – d).

Произведением комплексных чисел z = (a; b) и
w = (c; d) называют комплексное число
(ac – bd; ad + bc)
Частным от деления z на w называют число u,
равное:
bd
bc
ad
ac
u
2 2; 2 2
d c
d
c

6. Нахождение степеней числа i

Если показатель степени i делится на 4, то
значение степени равно 1, если при делении
показателя на 4 в остатке получается 1, то
значение степени равно i, если при делении
показателя на 4 остаток равен 2, то значение
степени равно -1, если в остатке при делении
показателя на 4 будет 3, то значение степени
равно –i.

7.

• Вычислить: 1) i 66 , 2) i143 , 3) i216 ,4)i137
Решение:
1) i66
66:4=16(2). Остаток равен 2, значит i66=-1
2)i143
143 :4=35(3).В остатке 3, значит i 143=-i
,
3)i216
216:4=54(0).в остатке 0, значит i216=1
4)i137
137:4=34(1).В остатке 1, значит i137=i

8.

Пример 1
Вычислить:
3 2
i
(
1
2
i)i
1
i
1
)(
1
2
i)
i
i
2
i2
2
i
3
2
i (
3
2
i)(
1
i) 3
2
i
3
i
2
i 3
5
i
215
2
)
i
2
1
i (
1
i)(
1
i)
1
i
1
1 22
2
15 53
3
)(
2
i)
i
i
22 22

9.

Геометрический смысл комплексного
числа
Каждой точке М плоскости с координатами (a,b)
соответствует один и только один вектор
OM z
с началом в точке z = 0 и концом в точке z=a+bi
y
M(a;b)
b
0
a
x

10.

Если комплексное число Z= a+bi трактовать как
точку M (a,b) плоскости xOy, то модуль Z равен
расстоянию точки M (a,b) от начала координат
z a b
2
2
Если на плоскости ввести полярные координаты
(r,φ), где φ аргумент числа z (φ=argz) - угол
между действительной осью ОХ и вектором ОМ,
то а = r COS φ, b = r SIN φ
В силу этого комплексное число Z можно
записать в форме z = r(COS φ+iSIN φ),
где r – модуль числа Z, φ – угол (в рад.), который
составляет вектор OM с положительным
направлением оси ox

11.

Тригонометрическая форма
комплексного числа
Тригонометрической формой комплексного числа
называют его запись в виде:
z = r(cosφ + isinφ), где r a2 b2 - модуль, а
φ – аргумент числа z, связанный с а и b формулами:
cos
sin
a
a b
b
2
2
a2 b2
;
Угол φ из промежутка ; называется главным
аргументом. Все остальные значения угла φ могут быть
получены прибавлением к главному аргументу значений
2 n, где n – любое целое число.

12.

Пример2.
Записать в тригонометрической форме:
Сначала находим модуль числа:
r (
23
)
2
4
2
Далее, согласно формулам (*),
имеем:
2
3 3
2
1
cos
;
sin
4 2
4
2
Учитывая, что угол
2 3 2i
; 5
5
5
Итак, z
4
cos
isin
6
6
6
2

13.

Действия над комплексными числами,
заданными в тригонометрической форме
При умножении/делении комплексных чисел,
заданных в тригонометрической форме, их модули
перемножаются /делятся, а аргументы складываются
(вычитаются).
z
z
r
r
(cos(
)
i
sin(
))
1
2
1
2
1
2
1
2
(1)
z
1 r
1
(cos(
)
i
sin(
))
1
2
1
2
z
(2)
2 r
2

14.

Пример3. Выполнить действия:
1
2
2
4
cos
i
sin
*
cos
i
sin
10
3
3
6 6
Используя формулу (1), находим:
4
2
2
2
2
cos
i
sin
cos
i
sin
i
10
6
3
6
3
5
2
2
5

15.

При возведении комплексного числа
z = r (Cosφ + iSinφ) в натуральную степень
n
модуль данного числа возводится в эту
степень,
а аргумент умножается на показатель степени:
формула Муавра
z
r(cos
n
i
sin
n
)(
4
)
n
n

16.

Корень n-й степени из комплексного
числа z = r (Cosφ + iSinφ) имеет n различных
значений, которые находятся по формуле :
2
2
z
r
cos
i
sin
(
3
)
n
n
n
n
Здесь к = 0, 1, 2, … n-1

17.

Пример4. Решить уравнение
z 4 0
2
Корнями данного
уравнения являются все значения
Для числа - 4 имеем r =2,
2
Согласно формуле(3),
находим:
2
2
4 2 cos
i sin
2
2
Если к = 0, то 1
2 cos i sin
2
2
2i
3
3
i sin
2i
Если к = 1, то 2 2 cos
2
2
4