Тема 1 Ираациональные числа

1. Тема 1.2. Иррациональные числа

2. Вспомним ранее пройденный материал

• любое рациональное число можно записать в виде бесконечной
десятичной периодической дроби и каждая бесконечная десятичная
периодическая дробь является рациональным числом.
• Если же бесконечная десятичная дробь непериодическая, то она не
является рациональным числом.
• Например, дробь 0,101001000100001..., в которой после первой цифры
1 стоит один нуль, после второй цифры 1 — два нуля и, вообще, после
n й цифры стоит n нулей, не является периодической. Поэтому
написанная дробь не представляет никакого рационального числа. В
этом случае говорят, что данная дробь является иррациональным
числом.

3. Иррациональное число

• Иррациональным числом называется бесконечная десятичная
непериодическая дробь.

4.

• Иррациональные числа, как и рациональные, могут быть
положительными и отрицательными.
• Например, число 0,123456..., в котором после запятой записаны
подряд все натуральные числа, является положительным
иррациональным числом.
• Число −5,246810..., в котором после запятой записаны подряд все
чётные числа, является отрицательным иррациональным числом.

5.

3
• Числа 2, 7,− 3, π также являются иррациональными, так как
можно доказать, что они могут быть представлены в виде
бесконечных десятичных непериодических дробей.

6.

Рациональные и иррациональные числа образуют множество
действительных чисел

7.

• Действительным числом называется бесконечная десятичная
дробь, т. е. дробь вида+ а0,а1а2а3... или −а0,а1а2а3...,
• где а0— целое неотрицательное число, а каждая из букв а1, а2, ...
— это одна из десяти цифр: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

8.

• Например: 1) в записи действительного числа π=3,1415... число
а0= 3, а первые четыре десятичных знака таковы: a1= 1, а2= 4, а3=
1, а4= 5;
• 2) в записи действительного числа− 234==−15,297058... число а0=
15, а десятичные знаки таковы: а1= 2, а2= 9, а3= 7, а4= 0 и т.д.;
• в записи действительного числа 37,19 = 37,19000...число а0= 37, а
десятичные знаки таковы: a1= 1,а2= 9, аn= 0 при n ≥ 3. Заметим, что
37,1999... = 37,2000... = 37,2.

9.

• Действительное число может быть положительным,
отрицательным или равным нулю. Бесконечная десятичная дробь
равна нулю, если все цифры в её записи — нули. Положительное
действительное число — это десятичная дробь, не равная нулю ,
со знаком «+», а отрицательное — со знаком «−».
• Знак «+» перед дробью обычно опускается.

10.

• Вам известно, как выполняются действия над конечными
десятичными дробями. Арифметические операции над
действительными числами, т. е. бесконечными десятичными
дробями, обычно заменяются операциями над их
приближениями.
• Например, вычислим приближённые значения 2+ 3.
• С помощью микрокалькулятора находим 2=1,4142135 , ..., 3=
1,7320508... .
• Поэтому с точностью до единицы 2+ 3≈ 1,4 + 1,7 = 3,1 ≈ 3,
точностью до одной десятой 2+ 3≈ 1,41 + 1,73 = 3,14 ≈ 3,1,
точностью до одной сотой 2+ 3≈ 1,414 + 1,732 = 3,146 ≈ 3,15 и т.
д.

11.

• Числа 3; 3,1; 3,15 и т. д. являются последовательными
десятичными приближениями (первые два с недостатком, третье
с избытком) значения суммы 2+ 3. Итак, при отыскании
суммы 2+ 3 числа 2 и 3 заменялись их приближениями —
рациональными числами, и выполнялось сложение чисел по
известным правилам.

12.

• Аналогично, вычисляя произведение 2⋅ 3,например, с
точностью до 0,1, получаем 2⋅ 3 ≈ 1,41 ⋅ 1,73 = 2,4393 ≈ 2,4.

13.

• Вообще, пусть х1, х2, ..., хn, ... — последовательные приближения
действительного числа х с точностью до 1, до 0,1, до 0,01 и т. д.
Тогда погрешность приближения | х − хn| как угодно близко
приближается к нулю (стремится к нулю). В этом случае пишут
• | х − хn| → 0 при n →∞, или lim
| x − хn | = 0
n →∞
• Это означает, что хnкак угодно близко приближается к х, т.е. хn→ х
при n →∞, или limn →∞ =x

14.

15.

• Заметим, что если бы не было иррациональных чисел и
соответствующих им точек числовой оси, то прямая Рис. 1,Рис. 2
• оказалась бы с «дырками», в частности, не было бы на числовой
оси точки с координатой 2

16.

• Множество действительных чисел «заполняет» всю числовую
прямую: каждому действительному числу соответствует
единственная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке
числовой прямой соответствует единственное действительное
число. Точку, изображающую число а, также обозначают буквой а.
Отметим, что если а < b, то точка а лежит левее точки b.

17.

• Множество всех действительных чисел обозначается R. Запись x ∈
R (читается: «х принадлежит R») означает, что х является
действительным числом.