№17 Функция y=sinx и её свойства

1.

2.

Определение:
Функции у = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x
называются тригонометрическими функциями.
Исследуем свойства функций по плану:
Область определения функции
Область значения функции
Периодичность
Четность, нечетность
Нули функции
Промежутки знакопостоянства
Промежутки монотонности
Наибольшее (наименьшее) значение функции

3.

y
y = sin x
−
2
− 2
т
3
−
2
1
−
-1
2
x
3
2
2

4. Область определения. Область значений функции.

у
1) Область определения
функции синус ̶ любое
действительное число, т. е.
D(у) = (- ∞ ; + ∞ )
2) Область значений
функции синус ̶ отрезок
от -1 до 1, т. е.
Е(у)= [-1; 1]
1
0
2π х
0
-1

5.

Свойства функции y=sinx
y
1
−2
−
−
3
2
3
2
2
−
0
2
2
x
−1
Область определения функции – любые числа (x R);
y
1
−2
−
3
−
2
−
3
2
2
0
2
2
−1
Область значений функции – отрезок от минус единицы до единицы (y [–1; 1]);
x

6.

Периодичность
2
III. sin (x +2 n) = sin х, n ϵ Z
f (х +Т) = f (х –Т) = f (х)
y
M
y
0
-y
3
2
x
-x
Функция периодическая,
T = 2π – наименьший
положительный период
0
Чётность, нечётность
2 x
IV. sin (− х) = − sin х, т. е.
f (− х)= − f (х) функция нечетная

7.

y
1
−2
–x
−
3
2
−
sinx
3
2
2
−
0
sin (–x)
x
2
2
x
−1
Нечетность: для любого x D(y) верно 1) –x D(y)
и
2) sin(–x)=–sinx;
(график симметричен относительно начала отсчета).
Периодичность : Tmin=2 , T=2 k, k
y
1
−2
−
−
3
2
−
3
2
2
0
−1
2
2
x

8. Наибольшее и наименьшее значение функции

унаиб.= 1 при х = + 2 n, n ϵ Z
2
у π/2
1
π
-π
0
унаим.= -1 при х = - + 2 n, n ϵ Z
2
Нули функции
0 х
2π у = 0 при x =0 + πn, n ϵ Z
-1
Промежутки знакопостоянства
3π/2 - π/2
y > 0 при
0 <x< π
y > 0 при х ϵ (2πn; π+2πn), n ϵ Z
y < 0 при
-π < x < 0
y < 0 при х ϵ (-π + 2πn; 2πn), n ϵ Z

9.

Нули функции:
−2
−
3
−
2
3
2
2
−
0
−1
Промежутки знакопостоянства:
−2
−
3
−
2
sinx=0, при x= n, n
1 y
−
2
x
1 y sinx<0, при x (− +2 n; 2 n), n
3
2
2
0
-
2
2
2
x
-
−1
1 y
−2
+
3
−
2
−
−
sinx>0, при x (2 n; + 2 n) , n
3
2
+
2
0
−1
2
2
x

10. Промежутки монотонности

II.
х1 х2
у
π
2
у2
М2
sin х1 sin х 2
у1
π
-π
III.
х1
sin х 1 sin х2
М1
0
0
х1 х2
sin х 1 sin х 2
х2
х1 х2
I.
х
IV
3π
2
-
π
2
х1 х2
sin х 1 sin х 2
Функция возрастает на - /2 + 2 n; /2 + 2 n , n Z
Функция убывает на /2 + 2 n; 3 /2 + 2 n , n Z

11.

Промежутки монотонности
y
1
−2
−
−
3
2
3
2
2
−
0
2
2
x
−1
Функция возрастает на - /2 + 2 n; /2 + 2 n , n -целое
y
1
−2
−
3
−
2
−
3
2
2
0
2
−1
Функция убывает на /2 + 2 n; 3 /2 + 2 n , n-целое
2
x

12. Свойства функции у = sin х и ее график

D (у) = ( - ; + )
Функция нечетная
Е (у) = -1; 1
Нули функции: х = n, n Z
у 0 при х ( 2 n; + 2 n), n Z
у 0 при х ( - + 2 n; 2 n), n Z
унаиб. = 1 при х = /2 + 2 n , n Z
унаим. = -1 при х = - /2 + 2 n , n Z
Функция возрастает на - /2 + 2 n; /2 + 2 n , n Z
Функция убывает на /2 + 2 n; 3 /2 + 2 n , n Z
y = sin x
y
1
-2π
3π
2
-π
-
π
2
Периодическая
0
-1
π
2
π
3π
2
2π
x
Функция непрерывная

13.

Построение графика функции y = sin x.
2
3
2
3
6
5
6
6 3 2
3
2
3
2
2

14.

Построение графика функции y = sin x.
2
3
5
6
7
6
4
3
2
3
6
3
2
5
3
11
6
6 3 2
3
2
2

15.

Построение графика функции y = sin x.
2
3
5
6
7
6
4
3
2
3
6
3
2
5
3
11
6
6 3 2
3
2
2

16. Синусоида

у
1
-π/2
π
2π
3π
х
-π
0
-1
π/2
3π/2
5π/2

17. у = sin(x+a)

y = sin(x+π/6)
y
1
-π
π
-1
у = sin(x+a)
2π
х

18.

1)y= sin x + 1;
2)y= sin x - 2
y
1
-π
0
x'
π
-2
у = sinх+a
2π
x
x''

19.

y
−
2
− 2
3
−
2
−
3
2
1
0
-1
6
2
5
6
x
2

20.

Пример №1
Найти все корни уравнения sin x = 1/2
принадлежащих промежутку –π ≤ х ≤ 3π ∕ 2.
y
1
1/2
I
3
−
2
I
−
I
−
2
y = sin x.
Ответ:
O
-1
I
6
х = π/6; х = 5π/6
2
I
5
6
I
3
2
x

21.

Пример №2
Найти все решения неравенства sin x ≥ 1/2
принадлежащих промежутку –3π/2 ≤ х ≤ π .
y
−
I
3
−
2
I
−
− 7
6
Ответ:
I
2
1
1/2
O
-1
y = sin x.
6
I
2
I
5
6
I
3
2
x