18 лекция Алг. ур

1.

Алгебраические уравнения и
их корни. Разложение
многочлена на множители

2. Алгебраические уравнения n-ой степени

Пусть есть многочлен степени п
Pn(z) = a0 zn +a1 zn – 1 +a2 zn – 2+ …+ ak zn – k+…+ an.
Уравнение Pn(z) = 0, или
a0 zn +a1 zn – 1 +a2 zn – 2+ …+ ak zn – k+…+ an= 0
называется алгебраическим уравнением степени п.
Если Pn(с) = 0, то число с называется корнем уравнения или корнем (нулем) многочлена
Pn(z).
a 0
линейное уравнение
az + b = 0
квадратное уравнение
az 2 + bz + c = 0
3
2
az + bz + cz + d = 0 кубическое уравнение
Раздел 6. Комплексные числа и многочлены.
Алгебраические уравнения
2

3. Теорема Безу

Остаток от деления многочлена
Pn(z) = a0 zn +a1 zn – 1 +a2 zn – 2+ …+ ak zn – k+…+ an
на линейный многочлен (z – с) равен Pn(с). Где с –
любое комплексное число.
Pn ( z ) = ( z − c)Q( z ) + R( z )
R( z ) = r C
R( z ) 0
deg R( z ) deg ( z − c) = 1
Pn (c) = (c − c)Q(c) + r Pn (c) = r
Следствие
Если с – корень многочлена, то Pn(z) делится на (z – с) без остатка.
Pn ( z ) = ( z − c)Q( z )
Раздел 6. Комплексные числа и многочлены.
Алгебраические уравнения
3

4. Основная теорема алгебры. Теорема Гаусса

Пусть есть многочлен степени п ≥ 1
Pn(z) = a0 zn +a1 zn – 1 +a2 zn – 2+ …+ ak zn – k+…+ an,
тогда существует по крайней мере один (комплексный)
корень этого многочлена с, то есть Pn(с) = 0.
Carl
Fridrich
Gauss
1777 – 1856
Следствие
Всякий многочлен степени п ≥ 1 имеет ровно п корней и может быть разложен на
линейные множители, то есть представлен в виде: Pn(z) = a0 (z – с1)( z – с2)…(z – cn).
➢
➢
➢
Разложение многочлена на множители единственно с точностью до перестановки
сомножителей.
Среди корней многочлена с1, с2,…, сп могут встречаться одинаковые.
Других корней многочлен не имеет.
Раздел 6. Комплексные числа и многочлены.
Алгебраические уравнения
4

5. Кратные корни

Число с называется корнем кратности k многочлена Pn(z), если
Pn(z) = (z – c)kQ(z), причем Q(с) ≠ 0.
Пример